Резонансные режимы работы электрических цепей. Активная мощность равна полной мощности в режиме резонанса если коэффициент мощности. Активная мощность равна полной мощности в режиме резонанса если коэффициент мощности

Режим гармонических колебаний. Частотные характеристики

Активной мощностьюPв электрической цепи при периодических процессах называют среднее значение мощности за полный период:

(1.28)

где р = ui –мгновенная мощность.

Если напряжение u на зажимах цепи и ток i в цепи являются синусоидальными функциями времени: , то

Учитывая, что , получаем выражение для активной мощности при синусоидальном процессе:

Множитель cosφназывают коэффициентом мощности. Так как , то . Только в предельном случае, когда φ = 0 и cosφ = 1, имеем . В другом предельном случае, когда и cosφ = 0, имеем P= 0.

Электрические машины, трансформаторы и другие электротехнические устройства рассчитывают на определенное номинальное напряжение U, обусловленное изоляцией этих устройств, и на определенный номинальный ток , обусловленный нагревом проводников этих устройств. Соответственно, наивысшее использование генерирующих и преобразующих электромагнитную энергию устройств будет в случае, когда коэффициент мощности приемников, на которые они работают, равен единице.

Максимальное приближение к единице коэффициента мощности предприятий, являющихся приемниками энергии, может быть осуществлено путем рационального конструирования оборудования этих предприятий, а также рациональной организацией их работы, например максимальной загрузкой двигателей, так как при холостом ходе cosφ двигателей обычно низок.

Так как обычно для предприятий φ > 0 и, следовательно, ток имеет индуктивный характер, то радикальной мерой повышения cosφ может быть установка на этих предприятиях конденсаторов, включаемых параллельно другим устройствам.

Из диаграммы на рис. 1.7 имеем ,и из диаграммы на рис. 1.12 получаем . Следовательно, для активной мощности можем написать следующие выражения:

(1.29)

Величину S= UIназывают полной мощностью. Смысл введения понятия полной мощности ясен из сказанного выше. Если под Uи I понимать номинальные значения, т.е. допускаемые при номинальном режиме действующие значения напряжения и тока электрической машины, трансформатора или других преобразователей энергий, то произведение S= UIдает наибольшую возможную активную их мощность при наиболее благоприятных условиях, т.е. при cosφ = 1.

Имеем следующие выражения для полной мощности:

Вводят в рассмотрение еще так называемую реактивную мощность Q = UIsinφ.

Практическое значение введения понятия реактивной мощности вытекает, например, из следующего. Обычный счетчик энергии дает значение энергии, отданной приемнику за некоторый промежуток времени . Эту энергию можно записать в форме

Если заметное изменение Р происходит только за большое число периодов Т тока и если, соответственно, во много раз превосходит Т. Однако показания такого счетчика не дают возможности судить о том, при каком коэффициенте мощности cosφ работает потребитель энергии. Такая оценка возможна, если наряду с обычным счетчиком, показывающим действительную энергию, передаваемую приемнику, включить на зажимы приемника счетчик, показывающий величину интеграла реактивной мощности Q за тот же промежуток времени :

Очевидно, чем больше показание этого счетчика по сравнению с показанием обычного счетчика, тем ниже среднее значение cosφ приемника за рассматриваемый промежуток времени.

Величину Р можно измерить с помощью обычного ваттметра, а величину Q – с помощью специально предназначенного для этой цели электроизмерительного прибора. Зная Р и Q, можно определить sinφ и cosφ потребителя энергии в момент измерения. Однако представляет интерес именно знать характер работы потребителя за длительный промежуток времени. С этой целью и используются счетчики, дающие названные интегральные величины.

Понятием реактивной мощности Q широко пользуются также при расчете электрических сетей переменного тока.

Из диаграммы на рис. 1.7 имеем , и из диаграммы рис. 1.12 получаем . Следовательно, для реактивной мощности существуют выражения:

(1.30)

Для приемников энергии Р и Sвсегда положительны, но реактивная мощность Q положительна лишь при φ>0, т.е. для индуктивных цепей, а при φ<0, т.е. для емкостных цепей, она отрицательна.

При , например, для конденсаторов или катушек без потерь, абсолютное значение реактивной мощности совпадает с полной мощностью.

Понятие активной мощности как средней за период Т мощности справедливо для любых периодических напряжений и токов определенной частоты f = 1/Т и не обязательно синусоидальных. Понятие же реактивной мощности Q в виде , так же как и выражение активной мощности в форме Р = UIcosφ, справедливо лишь при синусоидальном процессе.

При выводе всех вышеприведенных соотношений предполагалось, что на зажимах цепи действует напряжение U. Если предположить, что к зажимам цепи подключен идеальный источник синусоидальной ЭДС, имеющей действующее значение Е, то все соотношения останутся в силе с заменой Uна Е, например:

3ys.ru

Vse_lekcii_TEMK / Лекция N 7. Преобразование энергии в электрической цепи. Мгновенная, активная, реактивная и полная мощности синусоидального тока

Передача энергии w по электрической цепи (например, по линии электропередачи), рассеяние энергии, то есть переход электромагнитной энергии в тепловую, а также и другие виды преобразования энергии характеризуются интенсивностью, с которой протекает процесс, то есть тем, сколько энергии передается по линии в единицу времени, сколько энергии рассеивается в единицу времени. Интенсивность передачи или преобразования энергии называется мощностью р. Сказанному соответствует математическое определение:

(1)

Выражение для мгновенного значения мощности в электрических цепях имеет вид:

(2)

Приняв начальную фазу напряжения за нуль, а сдвиг фаз между напряжением и током за , получим:

(3)

Итак, мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, угловая частота которой в 2 раза больше угловой частоты напряжения и тока.

Когда мгновенная мощность отрицательна, а это имеет место (см. рис. 1), когда u и i разных знаков, т.е. когда направления напряжения и тока в двухполюснике противоположны, энергия возвращается из двухполюсника источнику питания.

Такой возврат энергии источнику происходит за счет того, что энергия периодически запасается в магнитных и электрических полях соответственно индуктивных и емкостных элементов, входящих в состав двухполюсника. Энергия, отдаваемая источником двухполюснику в течение времени t равна .

Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью.

Принимая во внимание, что , из (3) получим:

(4)

Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник будет генерировать энергию), поэтому , т.е. на входе пассивного двухполюсника. Случай Р=0,теоретически возможен для двухполюсника, не имеющего активных сопротивлений, а содержащего только идеальные индуктивные и емкостные элементы.

1. Резистор (идеальное активное сопротивление).

Здесь напряжение и ток (см. рис. 2) совпадают по фазе , поэтому мощностьвсегда положительна, т.е. резистор потребляет активную мощность

2. Катушка индуктивности (идеальная индуктивность)

При идеальной индуктивности ток отстает от напряжения по фазе на . Поэтому в соответствии с (3) можно записать.

Участок 1-2: энергия , запасаемая в магнитном поле катушки, нарастает.

Участок 2-3: энергия магнитного поля убывает, возвращаясь в источник.

3. Конденсатор (идеальная емкость)

Аналогичный характер имеют процессы и для идеальной емкости. Здесь . Поэтому из (3) вытекает, что. Таким образом, в катушке индуктивности и конденсаторе активная мощность не потребляется (Р=0), так как в них не происходит необратимого преобразования энергии в другие виды энергии. Здесь происходит только циркуляция энергии: электрическая энергия запасается в магнитном поле катушки или электрическом поле конденсатора на протяжении четверти периода, а на протяжении следующей четверти периода энергия вновь возвращается в сеть. В силу этого катушку индуктивности и конденсатор называют реактивными элементами, а их сопротивления ХL и ХС , в отличие от активного сопротивления R резистора, – реактивными.

Интенсивность обмена энергии принято характеризовать наибольшим значением скорости поступления энергии в магнитное поле катушки или электрическое поле конденсатора, которое называется реактивной мощностью.

В общем случае выражение для реактивной мощности имеет вид:

(5)

Она положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка- ) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка-). Единицу мощности в применении к измерению реактивной мощности называютвольт-ампер реактивный (ВАр).

В частности для катушки индуктивности имеем:

, так как .

Из последнего видно, что реактивная мощность для идеальной катушки индуктивности пропорциональна частоте и максимальному запасу энергии в катушке. Аналогично можно получить для идеального конденсатора:

Полная мощность

Помимо понятий активной и реактивной мощностей в электротехнике широко используется понятие полной мощности:

(6)

Активная, реактивная и полная мощности связаны следующим соотношением:

(7)

Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности. Из приведенных выше соотношений видно, что коэффициент мощности равен косинусу угла сдвига между током и напряжением. Итак,

(8)

Комплексная мощность

Активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользуясь комплексными изображениями напряжения и тока. Пусть , а. Тогда комплекс полной мощности:

(9)

где - комплекс, сопряженный с комплексом.

Комплексной мощности можно поставить в соответствие треугольник мощностей (см. рис. 4). Рис. 4 соответствует(активно-индуктивная нагрузка), для которого имеем:

Применение статических конденсаторов для повышения cos

Как уже указывалось, реактивная мощность циркулирует между источником и потребителем. Реактивный ток, не совершая полезной работы, приводит к дополнительным потерям в силовом оборудовании и, следовательно, к завышению его установленной мощности. В этой связи понятно стремление к увеличениюв силовых электрических цепях.

Следует указать, что подавляющее большинство потребителей (электродвигатели, электрические печи, другие различные устройства и приборы) как нагрузка носит активно-индуктивный характер.

Если параллельно такой нагрузке (см. рис. 5), включить конденсатор С, то общий ток, как видно из векторной диаграммы (рис. 6), приближается по фазе к напряжению, т.е.увеличивается, а общая величина тока (а следовательно, потери) уменьшается при постоянстве активной мощности. На этом основано применение конденсаторов для повышения.

Какую емкость С нужно взять, чтобы повысить коэффициент мощности от значения до значения?

Разложим на активнуюи реактивнуюсоставляющие. Ток через конденсаторкомпенсирует часть реактивной составляющей тока нагрузки:

;

(10)

;

(11)

(12)

Из (11) и (12) с учетом (10) имеем

но , откуда необходимая для повышенияемкость:

(13)

Баланс мощностей

Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить критерием правильности расчета электрической цепи.

а) Постоянный ток

Для любой цепи постоянного тока выполняется соотношение:

(14)

Это уравнение представляет собой математическую форму записи баланса мощностей: суммарная мощность, генерируемая источниками электрической энергии, равна суммарной мощности, потребляемой в цепи.

Следует указать, что в левой части (14) слагаемые имеют знак “+”, поскольку активная мощность рассеивается на резисторах. В правой части (14) сумма слагаемых больше нуля, но отдельные члены здесь могут иметь знак “-”, что говорит о том, что соответствующие источники работают в режиме потребителей энергии (например, заряд аккумулятора).

б) Переменный ток.

Из закона сохранения энергии следует, что сумма всех отдаваемых активных мощностей равна сумме всех потребляемых активных мощностей, т.е.

(15)

В ТОЭ доказывается (вследствие достаточной громоздкости вывода это доказательство опустим), что баланс соблюдается и для реактивных мощностей:

(16)

где знак “+” относится к индуктивным элементам , “-” – к емкостным.

Умножив (16) на “j” и сложив полученный результат с (15), придем к аналитическому выражению баланса мощностей в цепях синусоидального тока (без учета взаимной индуктивности):

или

Литература

Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

Что такое активная мощность?
Что такое реактивная мощность, с какими элементами она связана?
Что такое полная мощность?
Почему необходимо стремиться к повышению коэффициента мощности ?
Критерием чего служит баланс мощностей?
К источнику с напряжением подключена активно-индуктивная нагрузка, ток в которой. Определить активную, реактивную и полную мощности.

Ответ: Р=250 Вт; Q=433 ВАр; S=500 ВА.

В ветви, содержащей последовательно соединенные резистор R и катушку индуктивности L, ток I=2 A. Напряжение на зажимах ветви U=100 B, а потребляемая мощность Р=120 Вт. Определить сопротивления R и XL элементов ветви.

Ответ: R=30 Ом; XL=40 Ом.

Мощность, потребляемая цепью, состоящей из параллельно соединенных конденсатора и резистора, Р=90 Вт. Ток в неразветвленной части цепи I1=5 A, а в ветви с резистором I2=4 A. Определить сопротивления R и XC элементов цепи.

Ответ: R=10 Ом; XС=7,5 Ом.

studfiles.net

Резонансные режимы работы электрических цепей. Активная мощность равна полной мощности в режиме резонанса если коэффициент мощности

ГлавнаяМощностьАктивная мощность равна полной мощности в режиме резонанса если коэффициент мощности

Резонансные режимы работы электрических цепей

В электротехнике при анализе режимов работы электрических цепей широко используется понятие двухполюсника. Двухполюсникомпринято называть часть электрической цепи произвольной конфигурации, рассматриваемую относительно двух выделенных выводов (полюсов). Двухполюсники, не содержащие источников энергии, называются пассивными. Всякий пассивный двухполюсник характеризуется одной величиной – входным сопротивлением, т.е. сопротивлением, измеряемым (или вычисляемым) относительно двух выводов двухполюсника. Входное сопротивление и входная проводимость являются взаимно обратными величинами.

Пусть пассивный двухполюсник содержит одну или несколько индуктивностей и один или несколько конденсаторов. Под резонансным режимом работы такого двухполюсника понимают режим (режимы) двухполюсника при котором входное сопротивление является чисто активным. По отношению к внешней цепи двухполюсник ведет себя как активное сопротивление, вследствие чего входные напряжение и ток совпадают по фазе. Различают две разновидности резонансных режимов: резонанс напряжения и резонанс тока.

Резонанс напряжений

В простейшем случае резонанс напряжений может быть получен в электрической цепи переменного тока при последовательном включении катушки индуктивности и конденсаторов. При этом, изменяя емкость конденсаторов при постоянных параметрах катушки, получают резонанс напряжений при неизменных значениях напряжения и индуктивности, частоты и активного сопротивления цепи. При изменении емкости конденсаторов Спроисходит изменение реактивного емкостного сопротивления. При этом полное сопротивление цепи также изменяется, следовательно, изменяются ток, коэффициент мощности, напряжения на катушке индуктивности, конденсаторах, а также активная, реактивная и полная мощности электрической цепи. Зависимости токаI, коэффициента мощности cosи полного сопротивленияZцепи переменного тока в функции емкостного сопротивления (резонансные кривые) для рассматриваемой цепи приведены на рис. 9,а. Векторная диаграмма тока и напряжений этой цепи при резонансе представлена на рис. 9,б.

Как видно из этой диаграммы, реактивная составляющая напряжения ULна катушке при резонансе равна напряжениюUСна конденсаторе. При этом напряжение на катушке индуктивностиUкпри резонансе вследствие того, что катушка кроме реактивного сопротивленияXLобладает еще и активным сопротивлениемR, несколько больше, чем напряжение на конденсаторе.

Анализ представленных выражений (2), а также рис. 9,аибпоказывают, что резонанс напряжений имеет ряд отличительных особенностей.

1. При резонансе напряжений полное сопротивление электрической цепи переменного тока принимает минимальное значение и оказывается равным ее активному сопротивлению, т.е.

2. Из этого следует, что при неизменном напряжении питающей сети (U= const) при резонансе напряжений ток в цепи достигает наибольшего значенияI =U/Z =U/R. Теоретически ток может достигать больших значений, определяемых напряжением сети и активным сопротивлением катушки.

а)б)

Рис. 9

3. Коэффициент мощности при резонансе cos=R/Z =R/R = 1, т.е. принимает наибольшее значение, которому соответствует угол= 0. Это означает, что вектор токаи вектор напряжения сетипри этом совпадают по направлению, так как они имеют равные начальные фазыi=u.

4. Активная мощность при резонансе P=RI 2имеет наибольшее значение, равное полной мощностиS, в то же время реактивная мощность цепиQ=XI 2= (XLXC)I 2оказывается равной нулю:Q =QLQC= 0.

5. При резонансе напряжений напряжения на емкости и индуктивности оказываются равными UС=UL=XCI =XLIи в зависимости от тока и реактивных сопротивлений могут принимать большие значения, во много раз превышающие напряжение питающей сети. При этом напряжение на активном сопротивлении оказывается равным напряжению питающей сети, т.е.UR=U.

Резонанс напряжений в промышленных электротехнических установках нежелательное и опасное явление, так как оно может привести к аварии вследствие недопустимого перегрева отдельных элементов электрической цепи или пробою изоляции обмоток электрических машин и аппаратов, изоляции кабелей и конденсаторов при возможном перенапряжении на отдельных участках цепи. В то же время резонанс напряжений широко используется в различного рода приборах и устройствах электроники.

studfiles.net

2.6 Активная, реактивная и полная мощности

Активная мощность – это энергия, которая выделяется в единицу времени в виде теплоты на участке цепи с сопротивлением R

Реактивная мощность – это энергия, которой обмениваются генератор и приемник.

Под реактивной мощностью Q понимают:

Если и наоборот –

Полная мощность

Графически связь между мощностями представляют в виде треугольника мощности, у которого два катета Р и Q и гипотенуза S.

Рисунок 2.12 – Треугольник мощностей

Косинус угла сдвига фаз называетсякоэффициентом мощности. Он показывает, какую долю полной мощности составляет активная мощность, а какая доля электроэнергии преобразуется в другие виды энергии. Когда , то это означает, что активная мощность ра

xn----7sbeb3bupph.xn--p1ai