Средняя мощность переменного тока формула: Мощность переменного тока

Содержание

Открытая Физика. Закон Ома для цепи переменного тока. Мощность

Закон Ома для цепи переменного тока. Мощность

В § 2.3 были выведены соотношения, связывающие амплитуды переменных токов и напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке индуктивности:
RIR=UR; 1ωCIC=UC; ωLIL=UL.

Эти соотношения во виду напоминают закон Ома для участка цепи постоянного тока, но только теперь в них входят не значения постоянных токов и напряжений на участке цепи, а амплитудные значения переменных токов и напряжений.

Соотношения (*) выражают закон Ома для участка цепи переменного тока, содержащего один из элементов R, L и C. Физические величины R, 1ωC и ωL называются активным сопротивлением резистора, емкостным сопротивлением конденсатора и индуктивным сопротивлением катушки.

При протекании переменного тока по участку цепи электромагнитное поле совершает работу, и в цепи выделяется джоулево тепло. Мгновенная мощность в цепи переменного тока равна произведению мгновенных значений тока и напряжения: p = J ċ u. Практический интерес представляет среднее за период переменного тока значение мощности
P=Pср=I0 U0cosωtcos(ωt+φ)¯.

Здесь I₀ и U₀ – амплитудные значения тока и напряжения на данном участке цепи, φ – фазовый сдвиг между током и напряжением. Черта означает знак усреднения. Если участок цепи содержит только резистор с сопротивлением R, то фазовый сдвиг φ = 0:
PR=IRURcos2ωt¯=IRUR2=IR2R2.

Для того, чтобы это выражение по виду совпадало с формулой для мощности постоянного тока, вводятся понятия действующих или эффективных значений силы тока и напряжения:
Iд=I02; Uд=U02.

Средняя мощность переменного тока на участке цепи, содержащем резистор, равна
PR=IдUд.

Если участок цепи содержит только конденсатор емкости C, то фазовый сдвиг между током и напряжением φ=π2. Поэтому
PC=ICUCcosωtcos(ωt+π2)¯=ICUCcosωt( -sin ωt)¯=0.

Аналогично можно показать, что P_L = 0.

Таким образом, мощность в цепи переменного тока выделяется только на активном сопротивлении. Средняя мощность переменного тока на конденсаторе и катушке индуктивности равна нулю.

Рассмотрим теперь электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки. Цепь подключена к источнику переменного тока частоты ω. На всех последовательно соединенных участках цепи протекает один и тот же ток. Между напряжением внешнего источника e (t) и током J (t) возникает фазовый сдвиг на некоторый угол φ. Поэтому можно записать
J (t) = I₀ cos ωt; e (t) = ℰ₀ cos (ωt + φ).

Такая запись мгновенных значений тока и напряжения соответствует построениям на векторной диаграмме (рис. 2.3.2). Средняя мощность, развиваемая источником переменного тока, равна
P=I0ℰ0cosωtcos(ωt+φ)¯=I0ℰ02cosφ=Iдℰдcosφ.

Как видно из векторной диаграммы, U_R = ℰ₀ · cos φ, поэтому P=I0UR2. Следовательно, вся мощность, развиваемая источником, выделяется в виде джоулева тепла на резисторе, что подтверждает сделанный ранее вывод.

В § 2.3 было выведено соотношение между амплитудами тока I₀ и напряжения ℰ₀ для последовательной RLC-цепи:
I0=ℰ0R2+(ωL-1ωC)2.

Величину
Z=R2+(ωL-1ωC)2
называют полным сопротивлением цепи переменного тока. Формулу, выражающую связь между амплитудными значениями тока и напряжения в цепи, можно записать в виде
ZI₀ = ℰ₀.

Это соотношение называют законом Ома для цепи переменного тока. Формулы (*), приведенные в начале этого параграфа, выражают частные случаи закона Ома (**).

Понятие полного сопротивления играет важную роль при расчетах цепей переменного тока. Для определения полного сопротивления цепи во многих случаях удобно использовать наглядный метод векторных диаграмм. Рассмотрим в качестве примера параллельный RLC-контур, подключенный к внешнему источнику переменного тока (рис. 2.4.1).

Параллельный RLC-контур

При построении векторной диаграммы следует учесть, что при параллельном соединении напряжение на всех элементах R, C и L одно и то же и равно напряжению внешнего источника. Токи, текущие в разных ветвях цепи, отличаются не только по значениям амплитуд, но и по фазовым сдвигам относительно приложенного напряжения. Поэтому полное сопротивление цепи нельзя вычислить по законам параллельного соединения цепей постоянного тока. Векторная диаграмма для параллельного RLC-контура изображена на рис. 2.4.2.

Векторная диаграмма для параллельного RLC-контура

Из диаграммы следует:
I0=ℰ0(1R)2+(ωL-1ωC)2.

Поэтому полное сопротивление параллельного RLC-контура выражается соотношением
Z=1(1R)2+(ωL-1ωC)2.

При параллельном резонансе (ω² = 1 / LC) полное сопротивление цепи принимает максимальное значение, равное активному сопротивлению резистора:
Z = Z_max = R.

Фазовый сдвиг φ между током и напряжением при параллельном резонансе равен нулю.

эвакуатор в Севастополе на сайте

evakyator-sevastopol.ru

Мгновенная мощность

В отличие от цепей постоянного тока, где мощность в течение определенного промежутка времени остается неизменной, в цепях переменного тока дело обстоит иначе. Так как ток и напряжение постоянно меняют своё значение, то и мощность соответственно будет меняться в каждый момент времени. Такая мощность называется мгновенной.

Мгновенной мощностью p(t) называют произведение приложенного к цепи мгновенного напряжения u(t) на мгновенное значение тока i(t) в этой цепи.

График мгновенной мощности представлен на рисунке ниже

Мощность обозначена заштрихованной областью. Знак мощности зависит от сдвига фаз между током и напряжением. В данном случае в цепи присутствуют только активные сопротивления, которые не создают сдвига фаз, поэтому мощность имеет только положительные значения.

Рассмотрим другой график

На данном графике имеются области отрицательных значений мгновенной мощности. Такой график может соответствовать цепи, в которой присутствуют конденсатор или катушка, причем положительные участки — это мощность, которая пошла в цепь и рассеялась на сопротивлении, либо запаслась в качестве энергии полей конденсаторов или катушек, а отрицательные участки это мощность, которая была возвращена обратно источнику.

Активная мощность

Чтобы понять какое количество энергии потребляет источник, целесообразнее взять среднюю мощность за период. Для этого вернемся к первому графику.

На графике мгновенной мощности выделяют прямоугольник со сторонами T и Pm/2. Часть графика, которая находится выше линии Pm/2 точно укладывается в незаштрихованную часть прямоугольника. Таким образом, с помощью линии Pm/2 мы можем определить среднюю мощность за период, которая называется активной мощностью. Активная мощность – это полезная мощность, которая идет на преобразование в другие виды энергии.

В нашем случае сдвиг фаз равен нулю, поэтому коэффициент мощности равен единице, но в случаях с реактивными элементами нужно этот момент учитывать.

Активная мощность измеряется в ваттах – Вт.

cosφ – коэффициент мощности, который показывает отношение активной мощности к полной мощности.

Реактивная мощность

Реактивная мощность – это энергия, которая периодически циркулирует между источником и приемником. Реактивная мощность возникает потому, что конденсатор и катушка способны накапливать энергию, а затем снова отдавать её в сеть. На практике от реактивной мощности зачастую стараются избавиться.

Реактивная мощность измеряется в вольт амперах реактивных – ВАр.

Полная мощность

Полная мощность — это максимальное значение активной мощности.

Полная мощность измеряется в вольт-амперах — ВА.

Для наглядного представления существует треугольник мощностей, в котором гипотенузой является полная мощность, а катетами – активная и реактивная составляющие.

Читайте также — Последовательная RL-цепь

15.4 Мощность в цепи переменного тока – University Physics Volume 2

Глава 15. Цепи переменного тока

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Описывать, как можно представить среднюю мощность от цепи переменного тока через пиковый ток и напряжение и среднеквадратичное значение тока и напряжения
Определить зависимость между фазовым углом тока и напряжения и средней мощностью, известную как коэффициент мощности

Элемент схемы рассеивает или производит мощность в соответствии с [латекс]P=IV,[/латекс], где I — ток через элемент, а В — напряжение на нем. Поскольку ток и напряжение в цепи переменного тока зависят от времени, мгновенная мощность [латекс]p\left(t\right)=i\left(t\right)v\left(t\right)[/latex] также зависит от времени. График p ( t ) для различных элементов схемы показан на рис. 15.16. Для резистора i ( t ) и v ( t ) совпадают по фазе и поэтому всегда имеют один и тот же знак (см. рис. 15.5). Для конденсатора или катушки индуктивности относительные знаки i ( t ) и v ( t ) меняются в течение цикла из-за разности фаз (см. рис. 15.7 и рис. 15.9). Следовательно, p ( t ) в одни моменты времени положителен, а в другие отрицателен, указывая на то, что емкостные и индуктивные элементы производят мощность в одни моменты времени и поглощают ее в другие.

Рисунок 15.16 График мгновенной мощности для различных элементов цепи. (a) Для резистора [латекс]{P}_{\text{ave}}={I}_{0}{V}_{0}\text{/}2,[/latex], тогда как для ( б) конденсатор и (в) катушка индуктивности [латекс] {P} _ {\ text {аве}} = 0. [/латекс] (г) для источника [латекс] {P} _ {\ text { ave}}={I}_{0}{V}_{0}\left(\text{cos}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\varphi \right)\text{/}2 ,[/latex], который может быть положительным, отрицательным или нулевым, в зависимости от [latex]\varphi .[/latex]

Поскольку мгновенная мощность изменяется как по величине, так и по знаку в течение цикла, она редко имеет какое-либо практическое значение. Что нас почти всегда интересует, так это мощность, усредненная по времени, которую мы называем 9.{T}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{sin}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\left(\omega t-\varphi\right)\phantom{\ правило {0.2em} {0ex}} \ text {sin} \ phantom {\ правило {0.2em} {0ex}} \ omega t \ phantom {\ правило {0.2em} {0ex}} дт. [/латекс]

Используя тригонометрическое соотношение [латекс]\фантом{\правило{0.2em}{0ex}}\текст{sin}\фантом{\правило{0.2em}{0ex}}\left(AB\right)=\phantom{ \rule{0.2em}{0ex}}\text{sin}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}A\text{cos}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}B-\ фантом {\ правило {0. 2em} {0ex}} \ текст {sin} \ фантом {\ правило {0.2em} {0ex}} B \ фантом {\ правило {0.2em} {0ex}} \ текст {cos} \ phantom{\rule{0.2em}{0ex}}A,[/latex] получаем 9{T}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{sin}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\omega t\text{cos}\phantom{\rule{0.2em }{0ex}}\omega tdt=0.[/latex]

Следовательно, средняя мощность, связанная с элементом схемы, равна

[латекс] {P} _ {\ text {ave}} = \ frac {1} {2} {I} _ {0} {V} _ {0} \ phantom {\ rule {0.2em} {0ex} }\text{cos}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\varphi .[/latex]

В инженерных приложениях [латекс]\текст{cos}\фантом{\правило{0.2em}{0ex}}\varphi[/латекс] известен как коэффициент мощности , равный 9.0047, что является величиной, на которую мощность, подаваемая в цепи, меньше теоретического максимума цепи из-за того, что напряжение и ток не совпадают по фазе. Для резистора [латекс]\варфи =0,[/латекс], поэтому средняя рассеиваемая мощность равна

.

[латекс] {P} _ {\ text {ave}} = \ frac {1} {2} {I} _ {0} {V} _ {0}. [/latex]

Сравнение p ( t ) и [латекс]{P}_{\text{ave}}[/latex] показано на рис. 15.16(d). Чтобы [латекс]{P}_{\text{ave}}=\left(1\text{/}2\right){I}_{0}{V}_{0}[/latex] выглядел как его аналог на постоянном токе, мы используем среднеквадратичные значения {0ex}}{V}_{\text{rms}}[/latex] тока и напряжения. По определению это 9{2}\влево(т\вправо)дт.[/латекс]

С [латекс] я \ влево (т \ вправо) = {I} _ {0} \ фантом {\ правило {0.2em} {0ex}} \ текст {грех} \ фантом {\ правило {0.2em} {0ex }}\left(\omega t-\varphi\right)\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{and}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}v\left(t \right)={V}_{0}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{sin}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\omega t,[/latex] получаем

[латекс] {I} _ {\ text {rms}} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} {I} _ {0} \ phantom {\ rule {0.2em} {0ex}} \ text {и}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}{V}_{\text{rms}}=\frac{1}{\sqrt{2}}{V}_{0}.[/ латекс] 9{2}Р.[/латекс]

Это уравнение еще раз подчеркивает, почему для обсуждения выбрано среднеквадратичное значение, а не пиковые значения. Оба уравнения для средней мощности верны для уравнения 15.13, но среднеквадратические значения в формуле дают более четкое представление, поэтому дополнительный коэффициент 1/2 не нужен.

Переменные напряжения и токи обычно описываются их действующими значениями. Например, 110 В от бытовой розетки является среднеквадратичным значением. Амплитуда этого источника составляет [латекс]110\sqrt{2}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{V}=\text{156 В}\text{.}[/latex] Потому что большинство счетчиков переменного тока откалиброваны по среднеквадратичным значениям, типичный вольтметр переменного тока, подключенный к бытовой розетке, покажет 110 В.

Для конденсатора и катушки индуктивности [латекс]\varphi =\pi \text{/}2\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{and}\phantom{\rule{0.2em}{ 0ex}}-\pi \text{/}2\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{rad,}[/latex] соответственно. Поскольку [latex]\text{cos}\pi \text{/}2=\text{cos}\left(\text{−}\pi \text{/}2\right)=0,[/latex] мы найдите из уравнения 15.12, что средняя мощность, рассеиваемая любым из этих элементов, равна [латекс] {P} _ {\ text {аве}} = 0. [/латекс] Конденсаторы и катушки индуктивности поглощают энергию из цепи в течение одного полупериода и затем разрядите его обратно в цепь в течение другого полупериода. Это поведение проиллюстрировано на графиках рис. 15.16, (б) и (в), которые показывают p( t) колеблется синусоидально около нуля.

Фазовый угол генератора переменного тока может иметь любое значение. Если [latex]\text{cos}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\varphi > 0,[/latex] генератор вырабатывает энергию; если [латекс]\текст{cos}\фантом{\правило{0.2em}{0ex}}\varphi

[латекс] {P} _ {\ text {ave}} = {I} _ {\ text {rms}} {V} _ {\ text {rms}} \ phantom {\ rule {0.2em} {0ex }}\text{cos}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\varphi .[/latex]

Для генератора в цепи RLC ,

9{2}R,[/латекс]

, что означает, что мощность, вырабатываемая генератором, рассеивается в резисторе. Как мы видим, закон Ома для среднеквадратичного значения переменного тока находится путем деления среднеквадратичного значения напряжения на импеданс. {4} \ текст {рад} \ текст{/} \ текст {s} \ справа) t \ справа][/латекс] 9{-6}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{F}[/latex] и [латекс]R=5.00\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{ Ω}[/латекс]. а) Чему равно среднеквадратичное напряжение на генераторе? б) Чему равно сопротивление цепи? в) Какова средняя мощность генератора?

Стратегия

Среднеквадратичное значение напряжения равно амплитуде напряжения, умноженной на [latex]1\text{/}\sqrt{2}[/latex]. Полное сопротивление цепи включает сопротивление и реактивные сопротивления конденсатора и катушки индуктивности. Средняя мощность рассчитывается по уравнению 15.14 или, точнее, по последней части уравнения, потому что у нас есть импеданс цепи Z , среднеквадратичное значение напряжения [латекс] {V} _ {\ text {среднеквадратичное значение}} [/латекс] и сопротивление R .

Решение

Показать ответ

Поскольку [латекс]{V}_{0}=4.00\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{V,}[/latex] среднеквадратичное значение напряжения на генератор
[латекс] {V} _ {\ text {rms}} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left (4. {1\text{/}2}\hfill \\ & =7.07\phantom{\rule{0.2em}{0ex }}\text{Ω}\text{.}\hfill \end{массив}[/latex] 9{2}\text{/}R,[/latex], где В заменяет среднеквадратичное значение напряжения.

Проверьте свои знания

Вольтметр переменного тока, подключенный к клеммам генератора переменного тока частотой 45 Гц, показывает 7,07 В. Напишите выражение для ЭДС генератора.

Показать решение

[латекс]v\left(t\right)=\left(10.0\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{V}\right)\phantom{\rule{0.2 em}{0ex}}\text{sin}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}90\pi t[/latex]

Проверьте свои знания

Покажите, что среднеквадратичное значение напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке индуктивности в цепи переменного тока со среднеквадратичным значением тока равно [латекс]{I}_{\text{среднеквадратичное значение}}[/латекс] по [латексу] {I} _ {\ text {rms}} R, {I} _ {\ text {rms}} {X} _ {C}, \ phantom {\ rule {0.2em} {0ex}} \ text{and}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}{I}_{\text{rms}}{X}_{L},[/latex] соответственно. Определить эти значения для компонентов Цепь RLC по уравнению 15.12.

Show Solution

2,00 В; 10,01 В; 8,01 В

Сводка

Средняя мощность переменного тока находится путем умножения среднеквадратичных значений тока и напряжения.

Закон Ома для среднеквадратичного значения переменного тока находится путем деления среднеквадратичного значения напряжения на импеданс.

В цепи переменного тока существует фазовый угол между напряжением источника и током, который можно найти, разделив сопротивление на импеданс.

Средняя мощность, подаваемая на Цепь RLC зависит от фазового угла.

Коэффициент мощности находится в диапазоне от –1 до 1.

Концептуальные вопросы

При каком значении фазового угла [latex]\varphi[/latex] между выходным напряжением источника переменного тока и током средняя выходная мощность источника максимальна?

Обсудите разницу между средней мощностью и мгновенной мощностью.

Показать решение

Мгновенная мощность — это мощность в данный момент времени. Средняя мощность — это мощность, усредненная по циклу или числу циклов.

Средний переменный ток, подаваемый в цепь, равен нулю. Несмотря на это, мощность рассеивается в цепи. Объяснять.

Может ли мгновенная выходная мощность источника переменного тока быть отрицательной? Может ли средняя выходная мощность быть отрицательной?

Показать решение

Мгновенная мощность может быть отрицательной, но выходная мощность не может быть отрицательной.

Номинальная мощность резистора, используемого в цепях переменного тока, относится к максимальной средней мощности, рассеиваемой в резисторе. Как это соотносится с максимальной мгновенной мощностью, рассеиваемой на резисторе?

Задачи

ЭДС источника переменного тока определяется выражением [латекс]v\left(t\right)={V}_{0}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{sin} \phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\omega t,[/latex], где [latex]{V}_{0}=100\phantom{\rule{0. 2em}{0ex}}\text{ V}[/latex] и [latex]\omega =200\pi \phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{рад/с}\text{.}[/latex] Вычислить среднюю выходную мощность источника, если он подключен через (a) конденсатор [латекс]20\text{-}\mu \text{F}[/латекс], (б) катушку индуктивности 20 мГн и (в) [латексный ]50\text{-}\text{Ом}[/latex] резистор.

Расчет среднеквадратичного значения тока для источника переменного тока определяется выражением [латекс]v\left(t\right)={V}_{0}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{sin} \phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\omega t,[/latex], где [latex]{V}_{0}=100\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{ V}[/latex] и [latex]\omega =200\pi \phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{rad/s}[/latex] при соединении через (a) [латекс] 20\text{-}\mu \text{F}[/latex] конденсатор, (b) катушка индуктивности 20 мГн и (c) [латекс]50\text{-}\text{Ом}[/latex ] резистор.

Показать решение

а. 0,89 А; б. 5,6 А; в. 1,4 А

Катушка индуктивности 40 мГн подключена к источнику переменного тока частотой 60 Гц, амплитуда напряжения которого составляет 50 В. Если к катушке индуктивности приложить вольтметр переменного тока, что он покажет?

Для цепи РЛК серии амплитуда напряжения и частота источника 100 В и 500 Гц соответственно; [латекс] R = 500 \ фантом {\ правило {0.2em} {0ex}} \ текст {Ω} [/латекс]; и [латекс] L = 0,20 \ фантом {\ правило {0,2em} {0ex}} \ текст {H} [/латекс]. Найдите среднюю мощность, рассеиваемую на резисторе, при следующих значениях емкости: (а) [латекс]С=2,0 мкМ \текст{F}[/латекс] и (б) [латекс]С=0,20\фантом{\ правило{0.2em}{0ex}}\mu \text{F}\text{.}[/latex]

Показать раствор

а. 7,3 Вт; б. 6,3 Вт

Источник переменного тока с амплитудой напряжения 10 В отдает электрическую энергию мощностью 0,80 Вт при выходном токе 2,5 А. Каков фазовый угол [латекс]\varphi[/латекс] между ЭДС и током?

Цепь серии RLC имеет импеданс [латекс]60\фантом{\правило{0.2em}{0ex}}\текст{Ом}[/латекс] и коэффициент мощности 0,50, при этом напряжение отстает от Текущий. а) Следует ли последовательно с элементами включить конденсатор или катушку индуктивности, чтобы повысить коэффициент мощности цепи? б) При каком реактивном сопротивлении катушки индуктивности коэффициент мощности увеличится до единицы?

Показать раствор

а. индуктор; б. [латекс] {X} _ {L} = 52 \ фантом {\ правило {0.2em} {0ex}} \ текст {Ω} [/латекс]

Глоссарий

средняя мощность

среднее значение мгновенной мощности за один цикл

коэффициент мощности

величина, на которую мощность, подаваемая в цепь, меньше теоретического максимума цепи из-за того, что напряжение и ток не совпадают по фазе

Лицензии и атрибуты

Питание в цепи переменного тока. Автор: : Колледж OpenStax. Расположен по адресу : https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/15-4-power-in-an-ac-circuit. Лицензия : CC BY: Attribution . Условия лицензии : Скачать бесплатно по адресу https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/1-introduction

15.4 Питание в цепи переменного тока — University Physics Volume 2

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Опишите, как средняя мощность от цепи переменного тока может быть выражена через пиковый ток и напряжение и среднеквадратичное значение тока и напряжения

Определить соотношение между фазовым углом тока и напряжения и средней мощностью, известной как коэффициент мощности

Элемент схемы рассеивает или производит мощность в соответствии с P=IV, P=IV, где I — ток через элемент, а В — напряжение на нем. Поскольку ток и напряжение в цепи переменного тока зависят от времени, мгновенная мощность p(t)=i(t)v(t)p(t)=i(t)v(t) также зависит от времени. Сюжет р ( т ) для различных элементов схемы показан на рис. 15.16. Для резистора i ( t ) и v ( t ) совпадают по фазе и поэтому всегда имеют один и тот же знак (см. рис. 15.5). Для конденсатора или катушки индуктивности относительные знаки i ( t ) и v ( t ) меняются в течение цикла из-за разности фаз (см. рис. 15.7 и рис. 15.9). Следовательно, p ( t ) в одни моменты времени положителен, а в другие отрицателен, указывая на то, что емкостные и индуктивные элементы производят мощность в одни моменты времени и поглощают ее в другие.

Рисунок
15.16

График мгновенной мощности для различных элементов цепи. (a) Для резистора Pave=I0V0/2, Pave=I0V0/2, тогда как для (b) конденсатора и (c) катушки индуктивности Pave=0.Pave=0. (d) Для источника Pave=I0V0(cosϕ)/2, Pave=I0V0(cosϕ)/2, что может быть положительным, отрицательным или нулевым, в зависимости от ϕ.ϕ.

Поскольку мгновенная мощность изменяется как по величине, так и по знаку в течение цикла, она редко имеет какое-либо практическое значение. Что нас почти всегда интересует, так это мощность, усредненная по времени, которую мы называем средней мощностью. Он определяется средней по времени мгновенной мощностью за один цикл:

Pave=1T∫0Tp(t)dt,Pave=1T∫0Tp(t)dt,

где T=2π/ωT=2π/ω – период колебаний. С заменами v(t)=V0sinωtv(t)=V0sinωt и i(t)=I0sin(ωt−ϕ),i(t)=I0sin(ωt−ϕ) этот интеграл принимает вид

Pave=I0V0T∫0Tsin( ωt−ϕ)sinωtdt.Pave=I0V0T∫0Tsin(ωt−ϕ)sinωtdt.

Using the trigonometric relation sin(A−B)=sinAcosB−sinBcosA,sin(A−B)=sinAcosB−sinBcosA, we obtain

Pave=I0V0cosϕT∫0Tsin2ωtdt−I0V0sinϕT∫0Tsinωtcosωtdt. Pave=I0V0cosϕT∫0Tsin2ωtdt−I0V0sinϕT∫ 0Tsinωtcosωtдт.

Вычисление этих двух интегралов дает

Следовательно, средняя мощность, связанная с элементом схемы, определяется как

Pave=12I0V0cosϕ.Pave=12I0V0cosϕ.

15.12

В технических приложениях cosϕcosϕ известен как коэффициент мощности, который представляет собой величину, на которую мощность, подаваемая в цепь, меньше теоретического максимума цепи из-за несовпадения фаз напряжения и тока. Для резистора ϕ=0,ϕ=0, поэтому средняя рассеиваемая мощность равна

Задать=12I0V0.Задать=12I0V0.

Сравнение p ( t ) и PavePave показано на рис. 15.16(d). Чтобы сделать Pave=(1/2)I0V0Pave=(1/2)I0V0 похожим на его аналог постоянного тока, мы используем среднеквадратичные значения IrmsandVrmsIrmsandVrms тока и напряжения. По определению это

Irms=iave2andVrms=vave2,Irms=iave2andVrms=vave2,

, где )dt и vave2=1T∫0Tv2(t)dt.

При i(t)=I0sin(ωt−ϕ) и v(t)=V0sinωt, i(t)=I0sin(ωt−ϕ)и v(t)=V0sinωt получаем

Irms=12I0и Vrms=12V0.Irms=12I0andVrms=12V0.

Затем мы можем написать для средней мощности, рассеиваемой резистором,

Pave=12I0V0=IrmsVrms=Irms2R.Pave=12I0V0=IrmsVrms=Irms2R.

15.13

Это уравнение еще раз подчеркивает, почему для обсуждения выбрано среднеквадратичное значение, а не пиковые значения. Оба уравнения для средней мощности верны для уравнения 15.13, но среднеквадратические значения в формуле дают более четкое представление, поэтому дополнительный коэффициент 1/2 не нужен.

Переменные напряжения и токи обычно описываются их среднеквадратичными значениями. Например, 110 В от бытовой розетки является среднеквадратичным значением. Амплитуда этого источника составляет 1102 В = 156 В. 1102 В = 156 В. Поскольку большинство счетчиков переменного тока откалиброваны по среднеквадратичным значениям, типичный вольтметр переменного тока, подключенный к бытовой розетке, покажет 110 В.

Для конденсатора и катушки индуктивности , ϕ=π/2 и −π/2рад, ϕ=π/2 и −π/2рад соответственно. Поскольку cosπ/2=cos(−π/2)=0, cosπ/2=cos(−π/2)=0, из уравнения 15.12 мы находим, что средняя мощность, рассеиваемая любым из этих элементов, равна Pave=0.Pave =0. Конденсаторы и катушки индуктивности поглощают энергию из цепи в течение одного полупериода, а затем возвращают ее обратно в цепь в течение другого полупериода. Это поведение проиллюстрировано на графиках рис. 15.16, (б) и (в), которые показывают p( t) колеблется синусоидально около нуля.

Фазовый угол генератора переменного тока может иметь любое значение. Если cosϕ>0,cosϕ>0, генератор вырабатывает мощность; если cosϕ<0,cosϕ<0, он поглощает мощность. В терминах среднеквадратичных значений средняя мощность генератора переменного тока записывается как

Pave=IrmsVrmscosϕ.Pave=IrmsVrmscosϕ.

Для генератора в цепи RLC ,

tanϕ=XL−XCRtanϕ=XL−XCR

и

cosϕ=RR2+(XL−XC)2=RZ. cosϕ=RR2+(XL−XC)2= РЗ.

Следовательно, средняя мощность генератора равна

Pave=IrmsVrmscosϕ=VrmsZVrmsRZ=Vrms2RZ2.Pave=IrmsVrmscosϕ=VrmsZVrmsRZ=Vrms2RZ2.

15.14

Это также можно записать как

Pave=Irms2R,Pave=Irms2R,

, что означает, что мощность, вырабатываемая генератором, рассеивается в резисторе. Как мы видим, закон Ома для среднеквадратичного значения переменного тока находится путем деления среднеквадратичного значения напряжения на импеданс.

Пример
15,3

Выходная мощность генератора

Генератор переменного тока, ЭДС которого определяется выражением

v(t)=(4,00 В)sin[(1,00×104 рад/с)t]v(t)=(4,00 В)sin[(1,00×104 рад/с)t]

подключен к RLC , для которой L=2,00×10-3HL=2,00×10-3H, C=4,00×10-6FC=4,00×10-6F и R=5,00ΩR=5,00Ω. а) Чему равно среднеквадратичное напряжение на генераторе? б) Чему равно сопротивление цепи? в) Какова средняя мощность генератора?

Стратегия

Среднеквадратичное напряжение – это амплитуда напряжения, умноженная на 1/21/2. Полное сопротивление цепи включает сопротивление и реактивные сопротивления конденсатора и катушки индуктивности. Средняя мощность рассчитывается по уравнению 15.14 или, точнее, по последней части уравнения, потому что у нас есть импеданс цепи Z , среднеквадратичное значение напряжения VrmsVrms и сопротивление R .

Решение

Поскольку V0=4,00 В, V0=4,00 В, среднеквадратичное значение напряжения на генераторе равно
Вэфф=12(4,00В)=2,83В. Вэфф=12(4,00В)=2,83В.

Полное сопротивление цепи
Z=R2+(XL-XC)2={(5,00 Ом)2+[(1,00×104 рад/с)(2,00×10-3H)−1(1,00×104рад/с)(4,00×10-6F)] 2}1/2=7,07 Ом. Z=R2+(XL-XC)2={(5,00 Ом)2+[(1,00×104 рад/с)(2,00×10-3H)−1(1,00×104 рад/с) (4,00×10-6F)]2}1/2=7,07 Ом.

Из уравнения 15.14 средняя мощность, передаваемая в цепь, равна
Pave=Vrms2RZ2=(2,83 В)2(5,00 Ом)(7,07 Ом)2=0,801 Вт. Pave=Vrms2RZ2=(2,83 В)2(5,00 Ом)(7,07 Ом)2=0,801 Вт.