Мощности в цепях переменного тока: Мощность переменного тока: как определить, формулы, зависимости

Мощности в цепи переменного тока

В цепи переменного тока ток и напряжение
изменяются по гармоническому закону,
и между ними может быть ещё фазовый
сдвиг

.
Учитывая это, можно говорить о мгновенной
мощности, мощности в конкретный момент
времени t.

Активная мощность

В результате простых тригонометрических
преобразований (формула произведение
синусов)получили два слагаемых

,
— имеет постоянное значение

Где
— фазовый угол между током и напряжением.
Эта мощность получила название активная
мощность. Сомножитель

называется «коэффициент мощности
».
Если ток и напряжение совпадают по
направлению, т.е.

,
то

,
и активная мощность максимальна (в цепи
отсутствуют реактивные элементы).

Второе слагаемое:

—
мощность, изменяющаяся с удвоенной
частотой по отношению к частоте тока и
напряжения.

Рисунок 11. Мгновенная мощность в
электрической цепи с индуктивностью

Из рисунка видно, что напряжение
опережает ток, следовательно, цепь имеет
индуктивный характер. Активная мощность
приподнята над осью

на
величину P. Относительно
этого уровня гармонически изменяется
мощность
,
то есть мощность Р это среднее
значение за период Т мощности р.
Положительное значение р соответствует
мощности, потребляемой цепью (мощности
отдаваемой источником в цепь),
отрицательные значения р – мощности,
возвращаемой источнику реактивным
элементом (в данном случае индуктивностью).

Умножение на
это определение проекции одного вектора
на другой, следовательно, переходя на
комплексную плоскость

,
то есть

Реактивная мощность

Реактивная мощность – это мощность
возвращаемая источнику энергии за счет
обмена электоромагнитной энергией. Она
обозначается Q.

Аналогично можно получить для реактивной
мощности

скалярное
значение

В комплексом виде

Обратите внимание, что в формулах
определения Р и Q стоит
действующее значение тока, а не
комплексное, для которого вёлся расчет.

Единица измерения реактивной мощности
Вар – Вольт-Ампер реактивный.

Полная мощность

Полная
мощность это произведение действующих
значений тока и напряжения

,

где

—
полное сопротивление цепи.

Единица
измерения полной мощности «ВА» —
«Вольт-Ампер».

Треугольник мощностей

Так как

,
то

и

Полная, активная и реактивная мощности
связаны таким же соотношением как
стороны прямоугольного треугольника.

Для комплексных мощностей

Рисунок 12. Треугольник мощностей

Если цепь будет иметь ёмкостной характер,
то реактивная мощность

То угол
меньше нуля. Комплексная мощность
(сложение векторов):

Знак «+» относится к индуктивности,
«минус» — к ёмкости.

Баланс мощностей

Баланс
должен выполняться по всем трём мощностям.
Обычно он составляется для комплексной
мощности

Где

спряжённый
вектор вектору

,
то есть у
меняется
знак в показателе степени экспоненты
в показательной форме записи комплексного
числа

,
сопряженный

Заключение

В цепях с гармонически изменяющимся
источником энергии возникает гармонически
изменяющийся ток, которому оказывают
сопротивление не только диссипативные
элементы, но и частотно зависимые
сопротивления — индуктивное и ёмкостное.
Наличие реактивных сопротивлений
приводит к фазовому сдвигу между током
и напряжением. Чтобы не находить каждый
раз фазовый сдвиг при расчете цепей,
используется символический метод
расчета (векторный), при котором расчет
ведётся методами цепей постоянного
тока, а фазовые углы получаются в процессе
расчета.

§57. Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Мгновенное значение мощности. В цепи, содержащей активное, индуктивное и емкостное сопротивления, в которой ток I и напряжение u в общем случае сдвинуты по фазе на некоторый угол ?, мгновенное значение мощности р равно произведению мгновенных значений силы тока i и напряжения u. Кривую мгновенной мощности р можно получить перемножением мгновенных значений тока i и напряжения u при различных углах ?t (рис. 199, а. Из этого рисунка видно, что в некоторые моменты времени, когда ток и напряжение направлены навстречу друг другу, мощность имеет отрицательное значение. Возникновение в электрической цепи отрицательных значений мощности является вредным. Это означает, что в такие периоды времени приемник возвращает часть полученной электроэнергии обратно источнику; в результате уменьшается мощность, передаваемая от источника к приемнику. Очевидно, что чем больше угол сдвига фаз ?, тем больше время, в течение которого часть электроэнергии возвращается обратно к источнику, и тем больше возвращаемая обратно энергия и мощность.

Активная и реактивная мощности. Мгновенная мощность может быть представлена в виде суммы двух составляющих 1 и 2 (рис. 199,б). Составляющая 1 соответствует изменению мощности в цепи с активным сопротивлением (см. рис. 175,б).

Среднее ее значение, которое называют активной мощностью,

P = UI cos ? (75)

Она представляет собой среднюю мощность, которая поступает от источника к электрическим установкам при переменном токе.

Составляющая 2 изменяется подобно изменению мощности в цепи с реактивным сопротивлением (индуктивным или емкостным, см. рис. 179, а и б). Среднее ее значение равно нулю, поэтому для оценки этой составляющей пользуются ее амплитудным значением, которое называют реактивной мощностью:

Q = UI sin ? (76)

Рассматривая кривые мощности (см. рис. 199,б), можно установить, что только активная мощность может обеспечить преобразование в приемнике электрической энергии в другие виды энергии. Эта мощность в течение всего периода имеет положительный знак, т. е. соответствующая ей электрическая энергия 2, называемая активной, непрерывно переходит от источника 1 к приемнику 4 (рис. 200, а). Реактивная мощность никакой полезной работы создать не может, так как среднее значение ее в течение одного периода равно нулю. Как видно из рис. 199,б, эта мощность становится то положительной, то отрицательной, т. е. соответствующая ей электрическая энергия ,3, называемая реактивной,

Рис. 199. Зависимость мгновенной мощности р (а) и ее составляющих (б) от угла ?t

Рис. 200. Диаграмма, иллюстрирующая передачу электрической энергии между источником и приемником, содержащим активное и реактивное сопротивления, при отсутствии компенсатора (а) и при наличии его (б): 1 — источник; 2,3 — условные изображения активной и реактивной энергии; 4 — приемник; 5 — компенсатор

непрерывно циркулирует по электрической цепи от источника электрической энергии 1 к приемнику 4 и обратно (см. рис. 200, а).

Возникновение реактивной мощности в цепи переменного тока возможно только при включении в эту цепь накопителей энергии, таких как катушка индуктивности или конденсатор. В первом случае электрическая энергия, поступающая от источника, накапливается в электромагнитном поле катушки индуктивности, а затем отдается обратно; во втором случае она накапливается в электрическом поле конденсатора, а затем возвращается обратно к источнику. Постоянная циркуляция реактивной мощности от источника к приемникам загружает генераторы переменного тока и электрические сети реактивными токами, не создающими полезной работы, и тем самым не дает возможности использовать их по прямому назначению для выработки и передачи потребителям активной мощности. Поэтому в производственных условиях стараются по возможности уменьшить реактивную мощность, потребляемую электрическими установками.

Полная мощность. Источники электрической энергии переменного тока (генераторы и трансформаторы) рассчитаны на определенный номинальный ток I_ном и определенное номинальное напряжение U_ном, которые зависят от конструкции машины, размеров ее основных частей и пр. Увеличить значительно номинальный ток или номинальное напряжение нельзя, так как это может привести к недопустимому нагреву обмоток машины или пробою их изоляции. Поэтому каждый генератор или трансформатор может длительно отдавать без опасности аварии только вполне определенную мощность, равную произведению его номинального тока на номинальное напряжение. Произведение действующих значений тока и напряжения называется полной мощностью,

S = UI

Следовательно, полная мощность представляет собой наибольшее значение активной мощности при заданных значениях тока и напряжения. Она характеризует ту наибольшую мощность, которую можно получить от источника переменного тока при условии, что между проходящим по нему током и напряжением отсутствует сдвиг фаз. Полную мощность измеряют в вольт-амперах (В*А) или киловольт-амперах (кВ*А).

Связь между мощностями Р, Q и S можно определить из векторной диаграммы напряжений (рис. 201, а). Если умножить на ток I все стороны треугольника ABC, то получим треугольник мощностей А’В’С’ (рис. 201,б), стороны которого равны Р, Q и S. Из треугольника мощностей имеем:

S = ?(P² + Q²)

Из этого выражения следует, что при заданной полной мощности S (т. е. напряжении U и токе I) чем больше реактивная мощность Q, которая проходит через генератор переменного тока или трансформатор, тем меньше активная мощность Р, которую он может отдать приемнику. Иными словами, реактивная мощность не позволяет полностью использовать всю расчетную мощность источников переменного тока для выработки полезно используемой электрической энергии. То же самое относится и к электрическим сетям. Ток I = ?(I_a²+I_p²), который можно безопасно пропускать по данной электрической сети, определяется, главным образом, поперечным сечением ее проводов. Поэтому если часть I_р проходящего по сети тока (см. рис. 194,б) идет на создание реактивной мощности, то должен быть уменьшен активный ток I_а, обеспечивающий создание активной мощности, которую можно пропустить по данной сети.

Рис. 201. Векторная диаграмма напряжений (а) и треугольник мощностей (б) для цепи переменного тока

Если задана активная мощность Р, то при увеличении реактивной мощности Q возрастут реактивный ток I_р и общий ток I, проходящий по проводам генераторов переменного тока, трансформаторов, электрических сетей и приемников электрической энергии. При этом увеличиваются и потери мощности ?Р = I²R_пp в активном сопротивлении R_пp этих проводов.

Таким образом, бесполезная циркуляция электрической энергии между источником переменного тока и приемником, обусловленная наличием в нем реактивных сопротивлений, требует также затраты определенного количества энергии, которая теряется в проводах всей электрической цепи.

Коэффициент мощности. Из формулы (75) следует, что активная мощность Р зависит не только от тока I и напряжения U, но и от величины cos?, называемой коэффициентом мощности:

cos ? = P/(UI) = P/S = P/?(P² + Q²)

По значению cos ? можно судить, как использует мощность источника данный приемник или электрическая цепь. Чем больше cos ?, тем меньше sin ?, следовательно, согласно формулам (75) и (76) при заданных U и I, т. е. S, тем больше активная и меньше реактивная мощности, отдаваемые источником. При повышении cos ? и постоянной активной мощности Р, поступающей в приемник, уменьшается ток в цепи I = P/(U cos ?). При этом уменьшаются потери мощности ?P = I²R_пp в проводах и обеспечивается возможность дополнительной загрузки источника и электрической сети, т. е. лучшего их использования. Если приемник питается от источника при неизменном токе нагрузки, то повышение cos ? ведет к возрастанию активной мощности Р, используемой приемником. При cos?=1 реактивная мощность равна нулю, и вся мощность, отдаваемая источником, является активной. Поэтому на всех предприятиях и во всех отраслях народного хозяйства стремятся всемерно повышать коэффициент мощности и доводить его по возможности до единицы.

Значения коэффициента мощности электрических установок переменного тока различны. Электрические лампы обладают, главным образом, активным сопротивлением, поэтому при их включении сдвиг фаз между током и напряжением практически отсутствует. Следовательно, для осветительной нагрузки коэффициент мощности можно считать равным единице. Коэффициент мощности для двигателей переменного тока зависит от нагрузки. При номинальной расчетной нагрузке двигателя cos? = 0,8-0,9, а у крупных двигателей даже выше. При недогрузке двигателей коэффициент мощности их резко снижается (при холостом ходе cos ? = 0,25-0,3).

Повышение коэффициента мощности. Cos ? повышают различными способами. Основной из них — включение параллельно приемникам электрической энергии специальных устройств, называемых компенсаторами. В качестве последних чаще всего используют батареи конденсаторов (статические компенсаторы), но могут быть применены также и синхронные электрические машины (вращающиеся компенсаторы).

Способ повышения cos ? с помощью статического компенсатора (рис. 202, а) называют компенсацией сдвига фаз, или компенсацией реактивной мощности. При отсутствии компенсатора от источника к приемнику, содержащему активное и индуктивное сопротивления, поступает ток i₁ который отстает от напряжения и на некоторый угол сдвига фаз ?₁. При включении компенсатора Х_с по нему проходит ток i_c, опережающий напряжение и на 90°. Как видно из векторной диаграммы (рис. 202,б), при этом в цепи источника будет проходить ток i<i₁ и угол сдвига фаз его ? относительно напряжения также будет меньше ?₁.

Для полной компенсации угла сдвига фаз ?, т. е. для получения cos ? =1 и минимального значения тока I_min, необходимо, чтобы ток компенсатора I_с был равен реактивной составляющей I_1p = I₁ sin ?₁ тока I₁.
При включении компенсатора 5 (см. рис. 200,б) источник 1 и электрическая сеть разгружаются от реактивной энергии 3, так как она циркулирует уже по цепи «приемник — компенсатор». Благодаря этому достигаются существенное повышение использования генераторов переменного тока и электрических сетей и уменьшение потерь энергии, возникающих при бесполезной циркуляции реактивной энергии между источником 1 и приемником 4. Компен-

Рис. 202. Схема, иллюстрирующая способ повышения cos ? с помощью компенсатора (а), и векторная диаграмма (б)

сатор в этом случае выполняет роль генератора реактивной энергии, так как токи I_св конденсаторе и I_1р в катушке индуктивности (см, рис. 202,б) направлены навстречу один другому (первый опережает по фазе напряжение на 90°, второй отстает от него на 90°), вследствие чего включение компенсатора уменьшает общий реактивный ток I_р и сдвиг фаз между током I и напряжением U. При надлежащем подборе реактивной мощности компенсатора можно добиться, что вся реактивная энергия 3 (см. рис. 200,б), поступающая в приемник 4, будет циркулировать внутри контура «приемник — компенсатор», а генератор и сеть не будут участвовать в ее передаче. При этих условиях от источника 1 к приемнику 4 будет передаваться только активная мощность 2, т. е. cos ? будет равен единице.

В большинстве случаев по экономическим соображениям в электрических установках осуществляют неполную компенсацию угла сдвига фаз и ограничиваются значением cos ? = 0,95.

Мощность в цепях переменного тока

Мощность в цепях переменного тока

Как и в случае с мощностью постоянного тока, мгновенная электрическая мощность в цепи переменного тока определяется выражением P = VI, но эти величины постоянно изменяются. Почти всегда требуемая мощность в цепи переменного тока — это средняя мощность, которая определяется как . P среднее = VI cosφ , где φ — фазовый угол между током и напряжением, а где V и I — эффективные или среднеквадратичные значения напряжения и тока. Срок 9ампер. , а мощность переменного тока определяется как P avg = VI cosφ = Вт Коэффициент мощности равен cos φ = поэтому мощность уменьшается до той части, которая была бы в цепи постоянного тока с тем же напряжением и током. Для неуказанных параметров будут введены значения по умолчанию, но значения всех компонентов можно изменить. Щелкните за пределами поля после ввода данных, чтобы начать расчет.

Индекс Цепи переменного тока

Гиперфизика***** Электричество и магнетизм R Ступица

Назад

Как и в цепях постоянного тока, мгновенная электрическая мощность в цепи переменного тока определяется выражением P=VI, где V и I — мгновенные значения напряжения и тока. С , то мгновенное мощность в любое время t может быть выражено как и используя идентификатор триггера мощность становится: Усреднение этой мощности за полный цикл дает среднюю мощность.	Индекс Цепи переменного тока
Гиперфизика*****Электричество и магнетизм R Ступица	Назад

Обычно средняя мощность представляет собой интересующую мощность в цепях переменного тока. Поскольку выражение для мгновенной мощности постоянно меняется со временем, среднее значение должно быть получено путем интегрирования. Усреднение по одному периоду T синусоидальной функции даст среднюю мощность. Второй член в приведенном выше выражении для мощности в среднем равен нулю, поскольку он является нечетной функцией t. Среднее значение первого члена равно Поскольку среднеквадратичное значение напряжения и тока определяется как и , , средняя мощность может быть выражена как P 8 avg

Индекс Цепи переменного тока

Гиперфизика*****Электричество и магнетизм R Ступица

Назад

Для нахождения значения средней мощности при синусоидальном напряжении используется интеграл Период T синусоиды связан с угловой частотой ω и угол θ на Используя эти отношения, приведенный выше интеграл можно преобразовать в форму: Что можно показать с помощью идентификатора триггера: что уменьшает интеграл до значения 1/2, поскольку второй член справа имеет нулевой интеграл за весь период. Подробнее об интеграции триггерных функций

Индекс Цепи переменного тока

Гиперфизика*****Электричество и магнетизм R Ступица

Назад

15.5: Питание в цепи переменного тока

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

4445

• ОпенСтакс
• ОпенСтакс

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Описать, как можно представить среднюю мощность от цепи переменного тока через пиковый ток и напряжение и среднеквадратичное значение тока и напряжения
• Определить зависимость между фазовым углом тока и напряжения и средней мощностью, известную как коэффициент мощности

Элемент цепи рассеивает или производит мощность в соответствии с \(P = IV\), где I — ток через элемент, а \(V\) — напряжение на нем. Поскольку ток и напряжение в цепи переменного тока зависят от времени, мгновенная мощность \(p(t) = i(t)v(t)\) также зависит от времени. График \(p(t)\) для различных элементов схемы показан на рисунке \(\PageIndex{1}\). Для резистора \(i(t)\) и \(v(t)\) совпадают по фазе и поэтому всегда имеют один и тот же знак. Для конденсатора или катушки индуктивности относительные знаки \(i(t)\) и \(v(t)\) меняются в течение цикла из-за разности фаз. Следовательно, \(p(t)\) в одни моменты времени положительна, а в другие — отрицательна, что указывает на то, что емкостные и индуктивные элементы в одни моменты производят мощность, а в другие — поглощают ее.

Рисунок \(\PageIndex{1}\): График мгновенной мощности для различных элементов цепи. (a) Для резистора \(P_{ave} = I_0V_0/2\), тогда как для (b) конденсатора и (c) катушки индуктивности \(P_{ave} = 0\). (d) Для источника \(P_{ave} = I_0V_0(cos \, \phi)/2\), который может быть положительным, отрицательным или нулевым, в зависимости от \(\phi\).

Поскольку мгновенная мощность изменяется как по величине, так и по знаку в течение цикла, она редко имеет какое-либо практическое значение. Что нас почти всегда интересует, так это мощность, усредненная по времени, которую мы называем 9.T \sin \omega t \, \cos \, \omega t \, dt = 0. \nonumber\]

Следовательно, средняя мощность, связанная с элементом схемы, равна

.

\[\boxed {P_{\mathrm{ave}}=\frac{1}{2} I_{0} V_{0} \cos \phi.} \label{eq5}\]

В инженерных приложениях \(\cos\phi\) известен как коэффициент мощности , который представляет собой величину, на которую мощность, подаваемая в цепь, меньше теоретического максимума цепи из-за отсутствия напряжения и тока. фазы. Для резистора \(\phi = 0\), поэтому средняя рассеиваемая мощность равна 9{2} Р. \label{eq10} \]

Это уравнение еще раз подчеркивает, почему для обсуждения выбрано среднеквадратичное значение, а не пиковые значения. Оба уравнения \ref{eq5} и \ref{eq10} верны для средней мощности, но среднеквадратичные значения в формуле дают более четкое представление, поэтому дополнительный коэффициент 1/2 не требуется.

Переменные напряжения и токи обычно описываются их действующими значениями. Например, 110 В от бытовой розетки является среднеквадратичным значением. Амплитуда этого источника равна \(110 \sqrt{2} \, V = 156 \, V\). Поскольку большинство счетчиков переменного тока откалиброваны по среднеквадратичным значениям, типичный вольтметр переменного тока, подключенный к бытовой розетке, будет показывать 110 В.

Для конденсатора и катушки индуктивности \(\phi = \pi/2\) и \(-\pi/2 \, рад\) соответственно. Поскольку \(\cos\, \pi/2 = cos(-\pi/2) = 0\), мы находим из уравнения \ref{eq5}, что средняя мощность, рассеиваемая любым из этих элементов, равна \(P_{ave } = 0\). Конденсаторы и катушки индуктивности поглощают энергию из цепи в течение одного полупериода, а затем возвращают ее обратно в цепь в течение другого полупериода. Это поведение показано на графиках рисунков \(\PageIndex{1b}\) и \(\PageIndex{1c}\), которые показывают, что \(p(t)\) колеблется синусоидально около нуля. 9{-6}F\) и \(R = 5,00\, \Омега\).

1. Каково среднеквадратичное напряжение на генераторе?
2. Каково сопротивление цепи?
3. Какова средняя выходная мощность генератора?

Стратегия

Среднеквадратичное напряжение представляет собой амплитуду напряжения, умноженную на \(1/\sqrt{2}\). Полное сопротивление цепи включает сопротивление и реактивные сопротивления конденсатора и катушки индуктивности. Средняя мощность рассчитывается по уравнению \ref{eq30}, потому что у нас есть импеданс цепи \(Z\), среднеквадратичное напряжение \(V_{rms}\) и сопротивление \(R\). 92/R\), где В заменяет среднеквадратичное значение напряжения.

Упражнение \(\PageIndex{1A}\)

Вольтметр переменного тока, подключенный к клеммам генератора переменного тока частотой 45 Гц, показывает 7,07 В. Напишите выражение для ЭДС генератора.

Ответить

\(v(t) = (10,0 \, V) \, \sin \, 90 \pi t\)

Упражнение \(\PageIndex{1B}\)

Покажите, что среднеквадратичное значение напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке индуктивности в цепи переменного тока, где среднеквадратичное значение тока равно \(I_{rms}\), определяется выражением \ (I_{rms}R, \, I_{rms}X_C\) и \(I_{rms}X_L\) соответственно. Определить эти значения для компонентов RLC схема уравнения \ref{eq5}.

Ответить

2,00 В; 10,01 В; 8,01 В

---

Эта страница под названием 15.5: Power in the AC Circuit используется совместно в соответствии с лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или страница

   Автор

   ОпенСтакс

   Лицензия

   СС BY

   Версия лицензии

   4,0

   Программа ООР или издатель

   ОпенСтакс

   Показать оглавление

   нет

2. Теги

   1. средняя мощность (цепь переменного тока)
   2. коэффициент мощности
   3. источник@https://openstax.