Косинус ф: Описание параметра «Компенсация (cos ϕ)»

Что такое косинус фи в электрике

Допустим, вы купили компрессор для полива растений или электродвигатель для циркулярной пилы. В инструкции по эксплуатации помимо основных технических характеристик (таких, как потребляемый ток, рабочее напряжение, частота вращения) вы можете обнаружить такой непонятный показатель, как косинус фи (cos ϕ). Данная информация может быть указана и на пластинке (шильдике), закрепленной на корпусе прибора. В нашей статье мы постараемся объяснить простым и доступным языком  всем, даже пользователям далеким от электротехнических тонкостей, как тригонометрическая функция (знакомая нам со школьной скамьи) влияет на работу всем нам привычных электробытовых приборов, и почему ее называют коэффициентом мощности.

Важно! Все нижесказанное касается только сетей переменного тока.

Далекий от электротехники, но весьма наглядный пример

Чтобы объяснить, каким образом угол ϕ (а точнее его косинус) влияет на мощность, рассмотрим пример, не имеющий никакого отношения к электротехнике. Допустим нам необходимо передвинуть тележку, стоящую на рельсах. Чтобы удобнее было производить данную операцию, к ее передней части прикрепляем канат.

Если мы будем тянуть за веревку прямо вперед по направлению движения, то для перемещения тележки нам понадобится приложить достаточно небольшое усилие. Однако если находиться сбоку от рельсов и тянуть за канат в сторону, то для движения тележки с такой же скоростью необходимо будет приложить значительно большее усилие. Причем чем больше угол (ϕ) между направлением движения и прикладываемым усилием, тем больше «мощности» потребуется от нас.

Вывод! То есть, увеличение угла ϕ ведет к увеличению расходуемой нами энергии (при одной и той же выполненной работе).

Сдвиг фаз между напряжением и током

При использовании энергии переменного тока происходит приблизительно то же самое. При активной нагрузке (например, при включении электрочайника или лампы накаливания) переменные напряжение (U) и ток (I) полностью совпадают по фазе и одновременно достигают своих максимальных значений. В данном случае мощность потребителя электроэнергии можно рассчитать по формуле P=U•I.

Для сети переменного тока работающий электродвигатель, имеющийся, например, в стиральной машине, является комплексной нагрузкой, включающей в себя активную и индуктивную составляющие. При подаче напряжения на такой прибор оно появляется на обмотках, практически, мгновенно. А вот ток (из-за влияния индуктивности) запаздывает. То есть между ними образуется так называемый сдвиг фаз, который мы и называем ϕ.

При активно-емкостной нагрузке, наоборот, переменный ток сразу начинает течь через конденсатор, а напряжение отстает от него по фазе на величину ϕ.

Треугольник мощностей

Коэффициент мощности (PF) – это отношение мощностей: активной полезной (P) к полной (S). Чтобы показать, каким образом сдвиг фаз влияет на PF, используем так называемый треугольник мощностей. И вот тут-то нам и потребуются минимальные знания школьной тригонометрии.

Из теории о прямоугольных треугольниках всем нам известно, что cos ϕ=P/S. То есть, косинус фи — это и есть коэффициент мощности (PF), который показывает, какая часть от полной мощности (S= U•I) фактически необходима для конкретной нагрузки. Чем больше реактивная составляющая Q, тем меньше полезная P. Чтобы вычислить активную мощность необходимо полную S умножить на косинус фи: P= S•cos ϕ.

На заметку! Считать косинус фи абсолютным аналогом коэффициента мощности можно только при том условии, что мы имеем в электрической сети идеальную синусоиду. Для более точного расчета необходимо учитывать нелинейные искажения, которые имеют переменные напряжение и ток. На практике, зачастую коэффициентом нелинейных искажений синусоиды пренебрегают, и значение косинуса фи принимают за приближенное значение коэффициента мощности.

Усредненные значения коэффициента мощности

Лампы накаливания и электрические нагревательные элементы, хотя и имеют в своих конструкциях спирали, намотанные с помощью специального провода, считаются чисто активной нагрузкой для сетей переменного тока. Так как индуктивность этих элементов настолько мала, что ею, как правило, просто пренебрегают. Для таких приборов cos ϕ (или коэффициент мощности) принимают равным 1.

В разнообразных электрических ручных инструментах (дрелях, перфораторах, лобзиках и так далее) индуктивная составляющая мощности достаточно мала. Для них принято считать cos ϕ≈0,96÷0,97. Этот показатель достаточно близок к единице, поэтому его, практически, никогда не указывают в технических характеристиках.

Для мощных электродвигателей, люминесцентных ламп и сварочных трансформаторов cos ϕ≈0,5÷0,82. Этот коэффициент мощности необходимо учитывать, например, при выборе диаметра питающих проводов, чтобы они не нагрелись, и не сгорела их изоляция.

На что влияет низкий коэффициент мощности

К чему могут привести низкие показатели коэффициента мощности:

• При низком PF возрастает потребляемый нагрузкой ток. cos ϕ=P/S=P/(U•I), следовательно I=P/(U•cos ϕ). Допустим, для конкретной нагрузки необходима активная мощность P=10000 ВА при напряжении U=220 В. В идеальном варианте PF=cos ϕ=1. Тогда ток нагрузки: I=10000/(220•1)≈45 А. При PF=0,8  I=10000/(220•0,8)≈57 А. То есть при снижении PF с 1 до 0,8 ток возрастет приблизительно на 20%. Значит, это приведет к излишним затратам на электроэнергию.
• Снижение коэффициента мощности, и как следствие увеличение тока приводит к значительным энергетическим потерям в проводах, которые по закону Ома равны I•R², где R – активное сопротивление проводников. Для уменьшения этих потерь приходится увеличивать диаметр проводов, что опять же приводит к излишним экономическим затратам.
• Вышеуказанные потери расходуются на выделение тепла. В этом случае придется применять более термостойкие, а следовательно, и более дорогие изоляционные материалы).

В заключении

Смело можно утверждать, что чем ближе значение PF к единице, тем эффективнее используется электроэнергия. В некоторых мощных приборах производители устанавливают специальные приспособления, которые позволяют осуществлять коррекцию коэффициента мощности.

F.A.Q. Косинус Фи , КПД и другие параметры светодиодных светильников СД и СДУ арт.78

Часто задаваемые
вопросы относительно светодиодных светильников СД и СДУ(арт.78):

Вопрос: Почему в
информации о потолочном светодиодном светильнике
СД-35(арт.78)  указана потребляемая
мощность 35 Вт, при этом в светодиодном светильнике установлено всего 24
одноваттных светодиода и указан параметр «cos φ не менее 0,95»? Получается, что 24
Вт потребляют светодиоды, и ещё 11 Вт источник питания? Значит истинный cos φ
источника питания вашего светодиодного светильника не выше 0,5?

Ответ: Вся
приведенная информация о светильнике СД-35 достоверна. Дело вот в чем – в наших
светильниках СД-35(арт.78), СД-50(арт.78) и других этой серии мы действительно
используем одноваттные светодиоды, но «одноваттный» — это всего лишь ТИП
светодиода, что вовсе не означает, что светодиод потребляет ровно 1 Вт энергии.
Мы используем источник фиксированного тока для питания светодиодов (350 мА). У
используемых нами одноваттных светодиодах при токе 350 мА прямое падение
напряжения на светодиоде от 3,1 до 3,5 В (это зависит от бина светодиода).
Небольшие отклонения в параметрах светодиодов даже в пределах одной партии
обусловлены особенностями технологического процесса производства самих
светодиодов и являются естественными.

Получается, что реальная мощность
одного светодиода:

 

При этом суммарная мощность,
потребляемая светодиодами составит:

 

Источник тока в наших светодиодных
потолочных светильниках в реальности имеет значение cos φ не менее
0,95, вы можете убедиться в этом, подключив любой из наших светильников к
специальному измерительному прибору (фазометру, или интеллектуальному
мультиметру с функцией «True RMS»).

В итоге, суммарная потребляемая
мощность нашего светильника СД-35(арт.78) составляет:

Получается, что реальная
потребляемая мощность наших потолочных светодиодных светильников СД-35(арт. 78) составляет
от 27 до 31 Вт. Указанный параметр «Потребляемая мощность – 35 Вт» означает
возможное предельное максимальное потребление светильника, указанное в
ТУ, что, в свою очередь, является требованием «правильных» органов по
сертификации (заявление максимально возможной потребляемой мощности). Напомним,
что наши светильники сертифицированы в одном из авторитетнейших органов по
сертификации АНО «СветоС».

 Примечание. Режим
работы мощных светильников, таких как уличные
светодиодные светильники СДУ-50(арт.78), СДУ-70(арт.78), СДУ-90(арт.78),
СДУ-120(арт.78) и другие этой серии, а также промышленные светодиодные светильники СД(арт.78) 
и модификации светильников СУС) немного отличается от режима работы
офисных. Усилиями наших инженеров в драйверах указанных светильников cos φ составляет более 0,97 (вплоть до 0,98…0,99). При этом,
аналогично приведенному выше примеру, можно подсчитать реально потребляемую
мощность. В режиме питания мощных светильников ток через светодиоды обычно
выше, чем 350 мА (до 390 мА и выше), что оправдано эффективным теплоотводом
светильников.

Косинус — График, Значение, Период, Примеры

Косинус — одно из основных математических тригонометрических соотношений. Отношение длин стороны, прилежащей к углу, и гипотенузы прямоугольного треугольника называется функцией косинуса, которая изменяется при изменении угла. Он определяется в контексте прямоугольного треугольника для острых углов. Косинус используется для моделирования многих реальных сценариев — радиоволн, приливов и отливов, звуковых волн, музыкальных тонов, электрических токов.

Функция косинуса обозначается просто как cos x, где x — угол. В этой статье мы изучим основные свойства косинуса, его график, область определения и диапазон, производную, интеграл и разложение косинуса в степенной ряд. Cos x является периодической функцией и имеет период 2π.

1.	Что такое косинус?
2.	Косинус Значение
3.	График косинуса
4.	Значения косинуса
5.	Свойства функции косинуса
6.	Косинусные тождества
7.	Часто задаваемые вопросы о функции косинуса

Что такое косинус?

Косинус или cos x — это периодическая функция в тригонометрии. Рассмотрим единичный круг с центром в начале координат плоскости. Переменная точка P движется по окружности этой окружности. Из рисунка видно, что P находится в первом квадранте, а OP образует острый угол x радиан с положительной осью x. PQ — перпендикуляр, опущенный из точки P на горизонтальную ось. Таким образом, треугольник образуется путем соединения точек O, P и Q, как показано на рисунке, где OQ — основание, а PQ — высота треугольника.

Следовательно, функция косинуса для приведенного выше случая может быть математически записана как:

cos x = OQ/OP, Здесь x — острый угол, образованный между гипотенузой и основанием прямоугольного треугольника.

Косинус Значение

Косинус можно определить как отношение длины основания к длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике. Математически формула функции косинуса относительно сторон прямоугольного треугольника записывается как:

cos x = Смежная сторона/Гипотенуза = Основание/Гипотенуза, где x — острый угол между основанием и гипотенузой.

График косинуса

Как показано на изображении выше, мы отмечаем, что cos x = OQ/OP = OQ/1 = OQ. Поскольку x изменяется, значение косинуса изменяется с изменением длины OQ. Теперь изучим изменение функции косинуса в четырех квадрантах координатной плоскости.

Случай 1: Изменение OQ в первом квадранте.

Предположим, что изначально P находится на горизонтальной оси. Рассмотрим движение P на 90° или π/2 рад. На следующем рисунке показаны различные положения Q для этого движения. Ясно, что длина OQ уменьшилась от начального значения 1 (когда x равно 0 радианам) до конечного значения 0 (когда x равно π/2 радианам).

Случай 2: Изменение OQ во втором квадранте.

Теперь мы проверим положение P во втором квадранте, как мы делали это в первом квадранте, и проверим, как изменяется значение функции косинуса. P впоследствии перемещается из 9от 0° до положения 180°. В этой фазе движения длина или величина OQ увеличивается, а значение косинуса уменьшается со значения 0 при 90° до минимума -1 при 180°.

Случай 3: Изменение OQ в третьем квадранте.

Когда P перемещается из положения 180° в положение 270°, хотя длина или величина OQ уменьшается. Но поскольку направление вдоль отрицательной оси y, фактическое значение cos x увеличивается с -1 до 0. Таким образом, значение косинуса для угла x увеличивается.

Случай 4: Изменение OQ в четвертом квадранте.

Наконец, когда P перемещается из положения 270° в положение 360°, OQ увеличивается с 0 до 1 (снова). Длина или величина OQ увеличивается вместе с увеличением алгебраического значения OQ. Таким образом, значение функции косинуса для угла x увеличивается.

Теперь мы можем изобразить это изменение на графике. Горизонтальная ось представляет входную переменную x как угол в радианах, а вертикальная ось представляет значение функции косинуса для x. Объединив реакцию изменения значения PQ для всех четырех квадрантов, мы получили полный график зависимости cos x от x для одного полного цикла от 0 до 2π радиан (от 0° до 360°). Полученный таким образом график показан ниже:

Значения косинуса

Мы изучаем значение функции косинуса для некоторых конкретных углов, так как их легко запомнить. Эти значения косинуса используются при решении различных математических задач. Некоторые из этих значений косинуса перечислены ниже в тригонометрической таблице:

Градусы косинуса	Косинус радианы	Значение функции косинуса (cos x)
соз 0°	соз 0	1
cos 30°	cos π/6	√3/2
cos 45°	cos π/4	1/√2
cos 60°	cos π/3	1/2
cos 90°	cos π/2	0
cos 120°	cos 2π/3	-1/2
cos 150°	потому что 5π/6	-√3/2
cos 180°	потому что π	-1
cos 270°	cos 3π/2	0
cos 360°	потому что 2π	1

Свойства функции косинуса

Свойства косинуса зависят от квадранта, в котором находится угол. Функция косинуса является специальной тригонометрической функцией и имеет множество свойств. Некоторые из них перечислены ниже:

• График cos x повторяется после 2π, что предполагает периодичность функции с периодом 2π.
• Cos x — четная функция, поскольку cos(−x) = cos x.
• Областью определения функции косинуса являются все действительные числа в диапазоне [-1,1]. 9{2n}}{(2n)!}\)

Идентичности функции косинуса

В тригонометрии есть несколько тождеств, связанных с функцией косинуса. Эти тождества очень полезны при решении различных математических задач. Некоторые из них перечислены ниже:

• cos x = 1/сек x
• Функция, обратная косинусу = cos ^-1 x = arccos x, где x лежит в [-1, 1]
• sin ² х + cos ² х = 1
• cos (x + y) = cos x cos y — sin x sin y
• cos (x — y) = cos x cos y + sin x sin y
• cos 2x = cos ² x — sin ² x = 2 cos ² x — 1 = 1 — 2 sin ² x
• Производная от cos x: d(cos x)/dx = -sin x
• Интеграл функции косинуса: ∫cos x dx = sin x + C, где C – постоянная интегрирования.

Связанные темы

• Синусоидальная функция
• Обратные тригонометрические соотношения
• Тригонометрическая таблица
• Тригонометрические соотношения

Важные замечания о функции косинуса

• Функция косинуса может быть математически записана как:
  cos x = смежная сторона/гипотенуза = основание/гипотенуза
• Функция косинуса — это периодическая функция с периодом 2π.
• Область определения cos x равна (−∞, ∞), а диапазон равен [−1,1].

Часто задаваемые вопросы о функции косинуса

Что такое косинус в тригонометрии?

Косинус угла является тригонометрической функцией. Отношение длин стороны, прилежащей к углу, и гипотенузы прямоугольного треугольника называется функцией косинуса, которая изменяется при изменении угла. Обычно его обозначают cos x, где x — угол между основанием и гипотенузой.

Каковы свойства косинуса?

Некоторые свойства функции косинуса: 9{2n}}{(2n)!}\)

Что означает косинус?

Косинус можно определить как отношение длины основания к длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике. Он дает значение функции косинуса для угла x, обозначаемое как cos x.

Что такое обратная тригонометрическая функция функции косинуса?

Обратная функция косинуса = cos ^-1 x = arccos x, где x лежит в [-1, 1]. Это функция, обратная косинусу, и произносится как «арккосинус» или «арккосинус».

Как записать функцию косинуса?

Функция косинуса может быть записана как cos x = Смежная сторона/Гипотенуза = Основание/Гипотенуза

Как выглядит график косинуса?

Кривая функции косинуса представляет собой кривую вверх-вниз, которая повторяется через каждые 2π радиан.

Что такое период функции косинуса?

Период функции — это когда функция имеет определенное горизонтальное смещение P, в результате чего получается функция, равная исходной функции, т. е. f(x+P) = f(x) для всех значений x в пределах домен ф. Период функции косинуса равен 2π.

Является ли функция косинуса четной или нечетной?

Функция f(x) является четной функцией, если f(-x) = f(x) для всех x, и нечетной, если f(-x) = -f(x) для всех x. Функция косинуса является четной функцией, потому что cos(−x) = cos x.

Какое отношение косинуса?

Отношение косинуса равно отношению длины основания прямоугольного треугольника к длине гипотенузы.

Что такое область значений функции косинуса?

Областью определения функции косинуса являются все действительные числа, поскольку cos x определен для всех действительных чисел R.

Что такое диапазон Cos x?

Диапазон косинуса равен [-1, 1], поскольку значение cos x колеблется в пределах интервала [-1, 1], так как это периодическая функция и период, равный 2π.

Косинус

Косинус, записываемый как cos⁡(θ), является одной из шести основных тригонометрических функций.

Определения косинуса

Тригонометрические функции обычно обсуждаются двумя основными способами: в терминах прямоугольных треугольников и в терминах единичной окружности. Чаще всего вводится определение тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника, за которым следуют их определения в терминах единичной окружности.

Определение прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника с острым углом θ значение синуса этого угла определяется как отношение длины прилегающей стороны к длине гипотенузы.

Стороны прямоугольного треугольника обозначаются следующим образом:

• Смежный: сторона, следующая за θ, которая не является гипотенузой
• Напротив: сторона, противоположная θ.
• Гипотенуза: самая длинная сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла.

Пример:

Найдите cos(⁡θ) для прямоугольного треугольника ниже.

Мы также можем использовать функцию косинуса при решении реальных задач, связанных с прямоугольными треугольниками.

Пример:

Самолет пролетает над человеком. Человек записывает угол подъема 25 °, когда расстояние по прямой (гипотенуза треугольника) между человеком и самолетом составляет 14 миль. Каково горизонтальное расстояние между самолетом и человеком?

Учитывая вышеизложенную информацию, мы можем построить прямоугольный треугольник так, что x — это расстояние по горизонтали между человеком и самолетом, расстояние по прямой между человеком и самолетом — это гипотенуза, а расстояние по вертикали между концевые концы x и гипотенуза образуют прямой угол треугольника. Затем мы можем найти горизонтальное расстояние x, используя функцию косинуса:

x = 14 × cos⁡(25°) ≈ 12,69

Горизонтальное расстояние между человеком и самолетом составляет около 12,69миль.

Определение единичной окружности

Тригонометрические функции также могут быть определены как значения координат на единичной окружности. Единичная окружность — это окружность радиусом 1 с центром в начале координат. Определение тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника допускает углы от 0 ° до 90 ° (0 и в радианах). Использование определений единичного круга позволяет нам расширить область применения тригонометрических функций на все действительные числа. См. рисунок ниже.

Учитывая точку (x, y) на окружности единичного круга, мы можем сформировать прямоугольный треугольник, как показано на рисунке. В таком треугольнике гипотенуза — это радиус единичной окружности, или 1. θ — это угол, образованный между начальной стороной угла вдоль оси x и конечной стороной угла, образованного вращением луча по часовой стрелке или против часовой стрелки. Конечная сторона угла является гипотенузой прямоугольного треугольника и является радиусом единичной окружности. Поэтому его длина всегда равна 1. Таким образом, мы можем использовать определение косинуса прямоугольного треугольника, чтобы определить, что

означает, что значение x любой точки на окружности единичного круга равно cos⁡(θ).

В отличие от определений тригонометрических функций, основанных на прямоугольных треугольниках, это определение работает для любого угла, а не только для острого угла прямоугольного треугольника, если он находится в области определения cos⁡(θ). Область определения функции косинуса равна (-∞, ∞), а диапазон функции косинуса равен [-1, 1].

Значения функции косинуса

Существует множество методов, которые можно использовать для определения значения косинуса, например, обращение к таблице косинусов, использование калькулятора и аппроксимация с использованием ряда Тейлора для косинуса. В большинстве практических случаев нет необходимости вычислять значение косинуса вручную, и будет предоставлена ​​таблица, калькулятор или какой-либо другой справочник.

Калькулятор косинуса

Ниже приведен калькулятор для определения значения косинуса угла или угла из значения косинуса.

потому что		деградировать	=

Обычно используемые углы

Хотя мы можем найти cos(θ) для любого угла, есть некоторые углы, которые чаще используются в тригонометрии. Ниже приведены 16 часто используемых углов как в радианах, так и в градусах, а также координаты соответствующих им точек на единичной окружности.

Рисунок выше служит ориентиром для быстрого определения косинусов (значение x) и синусов (значение y) углов, которые обычно используются в тригонометрии. Как видно из рисунка, косинус имеет значение 0 при 90° и значение 1 при 0°. Синус следует противоположному образцу; это потому, что синус и косинус являются кофункциями (описаны позже). Другими часто используемыми углами являются 30° (), 45° (), 60° () и их соответствующие кратные. Значения косинуса и синуса этих углов стоит запомнить в контексте тригонометрии, так как они очень часто используются.

Один из методов, который может помочь в запоминании этих значений, состоит в том, чтобы выразить все значения cos(θ) в виде дробей, включающих квадратный корень. Начиная с 0° и увеличивая до 90°, cos⁡(0°)=1=. Последующие значения cos(30°), cos(45°), cos(60°) и cos(90°) следуют шаблону, так что, используя значение cos(0°) в качестве эталона, найти значения косинуса для последующих углов, мы просто уменьшаем число под знаком радикала в числителе на 1, как показано ниже:

От 90° до 180° вместо этого мы увеличиваем число под радикалом на 1, но также должны учитывать квадрант, в котором находится угол. Косинус отрицателен в квадрантах II и III, поэтому значения будут равны, но отрицательный. В квадрантах I и IV значения будут положительными. Этот шаблон периодически повторяется для соответствующих угловых измерений. Аналогичный метод запоминания можно использовать и для синуса. При необходимости обратитесь к синусоидальной странице.

Зная значения косинуса и синуса для углов в первом квадранте, мы можем определить их значения для соответствующих углов в остальных квадрантах координатной плоскости с помощью опорных углов.

Опорные углы

Опорный угол — это острый угол (<90°), который может использоваться для представления угла любой величины. Любой угол в координатной плоскости имеет опорный угол в диапазоне от 0° до 90°. Это всегда наименьший угол (относительно оси абсцисс), который можно составить из конечной стороны угла. На рисунке ниже показан угол θ и его опорный угол θ'.

Поскольку θ’ является опорным углом θ, значения cos⁡(θ) и cos⁡(θ’) равны. Например, 30° — это исходный угол, равный 150°, и если мы обратимся к единичному кругу, то увидим, что косинусы обоих имеют величину , хотя и имеют разные знаки. Поскольку у всех углов есть опорный угол, нам действительно нужно знать только значения cos⁡(θ) (а также других тригонометрических функций) в квадранте I. Все другие соответствующие углы будут иметь значения одинаковой величины, и мы просто нужно обратить внимание на их знаки в зависимости от квадранта, в котором лежит конечная сторона угла. Ниже приведена таблица, показывающая знаки косинуса, синуса и тангенса в каждом квадранте.

	Cosine	Sine	Tangent
Quadrant I	+	+	+
Quadrant II	—	+	—
Quadrant III	—	—	+
Quadrant IV	+	—	—

После определения эталонного угла мы можем определить стоимость функций TriGonometric в любом другом кадритете в других кацентах. применяя соответствующий знак к их значению для эталонного угла. Следующие шаги могут быть использованы для нахождения исходного угла заданного угла θ:

1. Вычтите 360° или 2π из угла столько раз, сколько необходимо (угол должен быть в пределах от 0° до 360° или от 0 до 2π). Если результирующий угол находится в диапазоне от 0° до 90°, это опорный угол.
2. Определить, в каком квадранте лежит конечная сторона угла (начальная сторона угла проходит вдоль положительной оси абсцисс)
3. В зависимости от того, в каком квадранте находится конечная сторона угла, используйте уравнения в таблице ниже, чтобы найти опорный угол. В квадранте I θ’=θ.

Квадрант II	Квадрант III	Квадрант IV
θ’= 180° — θ	θ’= θ — 180°	θ’= 360° — θ

Пример:

Найти cos⁡(120°).

1. θ уже находится между 0° и 360°
2. 120° лежит в квадранте II
3. 180° — 120° = 60°, поэтому опорный угол равен 60°

. 120 ° находится в квадранте II, а косинус отрицателен во втором квадранте, поэтому:

Пример:

Найти cos⁡(1050°).

1. 1050° — 360° = 690° — 360° = 330°
2. 330° лежит в квадранте IV
3. 360° — 330° = 30°, поэтому опорный угол равен 30°

. 330° находится в квадранте IV, а косинус положителен в квадранте IV, поэтому:

Свойства функции косинуса

Ниже приведены некоторые свойства функции косинуса, которые могут быть полезны при работе с тригонометрическими функциями.

Косинус — это кофункция синуса

Кофункция — это функция, в которой f(A) = g(B), учитывая, что A и B — дополнительные углы. В контексте косинуса и синуса:

cos⁡(θ) = sin⁡(90° — θ)

sin⁡(θ) = cos⁡(90° — θ)

Пример:

cos⁡(30 °) = sin⁡(90° — 30°) = sin⁡(60°)

Ссылаясь на единичный круг, показанный выше, мы можем подставить значения для cos⁡(30°) и sin⁡(60°) и увидеть, что :

Косинус — четная функция

Четная функция — это функция, в которой f(x)=f(-x), что означает, что отображение графика по оси Y даст тот же график. Таким образом,

cos⁡(θ) = cos⁡(-θ)

Пример:

cos⁡(60°) = cos⁡(-60°)

cos⁡(60°) = cos⁡(300°) )

Ссылаясь на единичный круг, мы видим, что cos⁡(60°)= и cos⁡(-60°) эквивалентно cos⁡(300°), который также равен . Это только один пример, но это свойство верно для всех θ.

Косинус – периодическая функция

Периодическая функция – это функция f, в которой существует некоторое положительное значение p, такое что

f(x+p) = f(x)

для всех x в области значений f, p — наименьшее положительное число, для которого f является периодическим, и называется периодом f.

Тригонометрические функции обычно используются для моделирования периодических явлений из-за их периодичности; независимо от того, с какой точки мы начинаем на единичной окружности, если мы пройдем расстояние 2π (360 °) по единичной окружности от этой точки, мы вернемся в исходную точку. Если мы посмотрим на функцию косинуса, то обнаружим, что она повторяется каждые 2π, поэтому 2π — это период функции косинуса. Мы можем записать это как:

cos⁡(θ+2π) = cos⁡(θ)

Для учета нескольких полных оборотов это также можно записать как

cos⁡(θ+2πn) = cos⁡(θ)

, где n равно целое число.

На рисунке ниже показан пример такой периодичности.

Синим цветом мы видим, что . . Если мы добавим 2π к , мы получим угол, показанный красным цветом, . Как видно из рисунка, несмотря на разную степень поворота в обоих углах, их конечные стороны совершенно одинаковы, а это означает, что . Мы могли бы добавить еще 2π и все равно увидели бы, что имеет то же значение косинуса, что и . Такова природа периодических функций. называются котерминальными углами; это углы с одинаковыми начальными и конечными сторонами, но с разными поворотами.

Примеры:

1.

2.

График косинуса

График косинуса является периодическим, т. е. повторяется бесконечно и имеет область значений -∞ Ниже приведен график y = cos⁡(x) в интервале [0, 2π], показывающий только один период функции косинуса.

Повторение этой части y = cos⁡(x) бесконечно слева и справа даст полный график косинуса. Ниже приведен график, показывающий четыре периода функции косинуса в интервале [-4π, 4π].

На этом графике видно, что y = cos⁡(x) демонстрирует симметрию оси y; отражение графика косинуса по оси Y дает тот же график. Это подтверждает, что косинус — четная функция, поскольку cos⁡(x)=cos⁡(-x).

Общее уравнение косинуса

Общая форма функции косинуса:

y = A·cos(B(x — C)) + D

, где A, B, C и D — константы. Чтобы иметь возможность построить уравнение косинуса в общем виде, нам нужно сначала понять, как каждая из констант влияет на исходный график y = cos⁡(x), как показано выше. Чтобы применить что-либо, написанное ниже, уравнение должно иметь форму, указанную выше; будьте осторожны со знаками.

A — амплитуда функции; высота от центра графика до максимума или минимума. В y = cos⁡(x) центром является ось x, а амплитуда равна 1, или A=1, поэтому самая высокая и самая низкая точки, которых достигает график, равны 1 и -1, диапазон cos(x) .

По сравнению с y=cos⁡(x), показанной ниже фиолетовым цветом, функция y=2 cos⁡(x) (красная) имеет амплитуду, вдвое превышающую амплитуду исходного графика косинуса.

B — используется для определения периода функции; период функции — это расстояние от пика до пика (или любой точки на графике до следующей точки соответствия) и может быть найден как . В y=cos⁡(x) период равен 2π. Мы можем подтвердить это, посмотрев на пики на графике косинуса. При x=0 y=cos⁡(x) имеет пик. В первый раз другой пик функции возникает при x=&plusmn2π, подтверждая, что период косинуса равен 2π.

По сравнению с y=cos⁡(x), показанным ниже фиолетовым цветом и имеющим период 2π, y=cos⁡(2x) (красный) имеет период
. Это означает, что граф повторяет каждое π, а не каждые 2π.

C — фазовый сдвиг функции; фазовый сдвиг определяет, как функция сдвигается по горизонтали.