График распределенной нагрузки 5: График распределенной нагрузки, 5 (пять) букв

Содержание

Свободно опертая балка с распределенной массой под действием постоянной поперечной силы, перемещающейся вдоль пролета балки с постоянной скоростью

Цель: Определение деформированного состояния свободно опертой балки с распределенной массой от воздействия постоянной поперечной силы, перемещающейся вдоль пролета балки с постоянной скоростью.

Файлы с исходными данными:

Формулировка задачи: Вдоль пролета свободно опертой балки постоянного сечения с равномерно распределенной массой μ перемещается с постоянной скоростью v постоянная поперечная сила P. Определить собственные формы и частоты колебаний p свободно опертой балки, а также прогиб η в поперечном сечении середины пролета балки во времени.

Ссылки: С. П. Тимошенко, Курс теории упругости, под редакцией Э. И. Григолюка, Киев, Наукова думка, 1972, стр. 345.

Исходные данные:

E = 3. 0·10⁶ тс/м²	— модуль упругости;
ν = 0.2	— коэффициент Пуассона;
b = 0.4 м	— ширина прямоугольного поперечного сечения балки;
h = 0.8 м	— высота прямоугольного поперечного сечения балки;
l = 8.0 м	— длина пролета балки;
γ = 2.5 тс/м³	— объемный вес материала балки;
P = 76.8 тс	— значение постоянной силы, перемещающейся вдоль пролета балки;
g = 10.00 м/с²	— значение ускорения свободного падения;

μ = 2.5·0.4·0.8/10.0 = 0.08 тс·с²/м²	— значение равномерно распределенной массы балки;
I = 0.4·(0.8)³/12 = 0.017067 м⁴	— момент инерции поперечного сечения балки.

Скорость перемещения постоянной силы v принимается в зависимости от значений длины пролета балки и периода основного тона собственных колебаний балки T₁:

v = l / T₁.

Конечноэлементная модель: Расчетная схема – балочный ростверк / плита, 32 стержневых элемента типа 3. Обеспечение граничных условий по свободно опертым торцам балки достигается за счет наложения связей по направлению степени свободы Z. Геометрическая неизменяемость расчетной схемы обеспечивается за счет наложения связи в узле поперечного сечения оси симметрии балки по направлению степени свободы UX. Распределенная масса задается преобразованием статической нагрузки от собственного веса балки μ·g.

Расчет производится в два этапа: сначала модальным анализом определяются собственные формы и частоты колебаний p, затем методом прямого интегрирования уравнений движения определяются прогибы η в поперечном сечении середины пролета балки во времени.

Воздействие постоянной поперечной силы, перемещающейся вдоль пролета балки, задается в виде сил, приложенных во всех узлах расчетной схемы по оси Z общей системы координат с масштабным множителем 1.0 по двум вариантам:

Время запаздывания для каждой из узловых сил различно и определяется как t₀ = 2·(m-1)·Δt_int, где m – количество конечных элементов, отсчитываемое от опорного узла балки до рассматриваемого по ходу движения нагрузки. График, описывающий изменение нагрузки во времени, является единым для всех узловых сил. При построении графика узловая сила принимается с последовательными значениями: 0; 0.5·P; P; 0.5·P; 0 в моменты времени: 0; Δt_int; 2·Δt_int; 3·Δt_int; 4·Δt_int; 5·Δt_int, отсчитываемые от времени запаздывания t₀, в дальнейшие моменты времени узловая сила равна 0.
Время запаздывания для всех узловых сил является единым и равно t₀ = 0. Каждой узловой силе соответствует свой график, описывающий изменение нагрузки во времени. При построении графика узловая сила в моменты времени от 0 до 2·(m-1)·Δt_int равна 0, в моменты времени от 2·(m-1)·Δt_int до 2·(m+1)·Δt_int включительно принимается с последовательными значениями: 0; 0.5·P; P; 0.5·P; 0, в дальнейшие моменты времени узловая сила равна 0, где m – количество конечных элементов, отсчитываемое от опорного узла балки до рассматриваемого по ходу движения нагрузки.

Для обоих вариантов задания воздействия подвижной нагрузки интервалы между моментами времени графиков изменения нагрузки равны времени прохождения половины расстояния между смежными узлами расчетной схемы со скоростью v: Δt_int = L / (2·n·v) = T₁ / (2·n) и соответствуют шагу интегрирования, где n – количество конечных элементов в расчетной схеме. Продолжительность процесса равна времени прохождения подвижной нагрузки по пролету балки l со скоростью v: t = l/v =T₁. Коэффициенты критического демпфирования по 1-й и 2-й собственным частотам приняты с минимальным значением ξ = 0. 0001. Коэффициент пересчета для присоединенного статического загружения равен k = 0.981 (формирование масс). Количество узлов в расчетной схеме – 33. При решении используется метод модального интегрирования. Определение собственных форм и частот выполнено методом итерации подпространств. При расчете используется матрица сосредоточенных масс.

Расчетная схема

1-я — 16-я собственные формы колебаний

График изменения прогиба η в поперечном сечении середины пролета балки во времени (м)

Амплитудное значение прогиба η в поперечном сечении середины пролета балки и деформированные схемы в соответствующий момент времени (м)

Сравнение решений:

Собственные частоты колебаний p, рад/с

Форма колебаний	Теория	SCAD	Отклонения, %
1	123. 370	123.370	0.00
2	493.480	493.480	0.00
3	1110.330	1110.325	0.00
4	1973.921	1973.887	0.00
5	3084.251	3084.120	0.00
6	4441.322	4440.919	0.01
7	6045.133	6044.087	0.02
8	7895.684	7893. 275	0.03
9	9992.974	9987.907	0.05
10	12337.005	12327.069	0.08
11	14927.777	14909.367	0.12
12	17765.288	17732.721	0.18
13	20849.539	20794.097	0.27
14	24180.531	24089.155	0.38
15	27758.262	27611. 778	0.53
16	31582.734	31353.470	0.73

Пунктиром показано значение статического прогиба

График изменения прогиба η в поперечном сечении середины пролета балки во времени по теоретическому решению (м)

Амплитудное значение прогиба η в поперечном сечении середины пролета балки, м

Теория		SCAD
Время, с	Прогиб, м	Время, с	Прогиб, м	Отклонение, %
0.0339	0.002842	0.0334	0.002837	0.18

Замечания: При аналитическом решении собственные частоты колебаний p свободно опертой балки определяются по формуле:

\[ p_{1} =\frac{n^{2}\cdot \pi^{2}}{l^{2}}\cdot \sqrt {\frac{E\cdot I}{\mu }} , \]

где n = 1, 2, 3, 4, … – номер формы собственных колебаний. {2}}\cdot \sqrt {\frac{E\cdot I}{\mu }} \cdot t} \right)} \right)} \right]} ; \]

Решения плоской и пространственной задач консолидации и их приложения © Геостарт

Решений плоской и тем более пространственных задач консолидации в виде простейших зависимостей, таблиц или графиков очень ограниченное число. Имеются решения для случая приложения к поверхности двухфазного грунта сосредоточенной силы (В. Г. Короткий), графики для определения степени консолидации в угловых точках прямоугольной площади загружения равномерно распределенной нагрузкой (Р. Гибсон), решение для случая равномерно распределенной нагрузки в условиях плоской задачи (Н. Н. Вири- гин) и др. Вспомогательные таблицы и графики для использования этих решений приведены в [34, 36].

В качестве примера приведем выражение для напорной функции в случае действия на поверхности полуплоскости сосредоточенной силы, полученное В. Г. Короткиным на основе уравнения консолидации (8.49) в виде

Учитывая линейность уравнения консолидации (8. 49), можно любую распределенную нагрузку разложить на ряд сосредоточенных сил и, определив напоры от каждой из них по зависимости (8.98), сложить их. Полученное приближенное распределение напоров будет отвечать случаю действия распределенной нагрузки на поверхности водопроницаемой полуплоскости. Также исходя из допустимости принципа наложения, можно учесть любой график изменения этой нагрузки во времени, прикладывая часть сосредоточенных сил в различные моменты времени, т. е. изменяя в уравнении (8.98) величину I.

Аналогичным путем можно применить и решение для сосредоточенной силы на поверхности полупространства, используя при этом имеющиеся вспомогательные таблицы или графики [34, 36].

Для решения большинства практически интересных задач, т. е. в условиях более сложной конфигурации области уплотнения, учета конструкций дренажей, календарного графика производства работ приходится переходить к использованию общего метода их численного решения, например, метода конечных разностей, решая задачи с помощью ЭВМ.

Консолидация оснований сооружений. В качестве примера рассмотрим простейший случай уплотнения основания равномерно распределенной полосовой нагрузкой (плоская задача) (рис. 8.16, а).

Грунт основания однородный, изотропный, полностью водонасыщенный, а его скелет не обладает свойствами ползучести. Возведение сооружения ведется по календарному графику (рис. 8.16, б).

Для демонстрации техники числового решения рассмотрим этот пример в условиях ручного счета, используя уравнение консолидации в простейшей форме (8.70)

Кроме того, для тех же целей возьмем весьма грубую квадратную- сетку с АН = 0,256 = 0,25-2а и очень незначительно распространим ее в стороны и в глубь основания (рис. 8.16, а), понимая, что для обеспечения условий на бесконечности этого явно недостаточно.

Вместо уравнения (8.100) можно также воспользоваться таблицей 3.1, подсчитывая по ней 0* = 7_Х. В результате, приняв;

для упрощения = 1, составлена первая из таблиц 8. 1 для начального распределения напоров в узлах сетки. На водопроницаемой части границы, в том числе и в краевой точке (х = а), Н₀ = 0. Для обеспечения условия водонепроницаемости подошвы сооружения введены фиктивные узлы, в которых начальные напоры приняты такими же, как и полученные расчетом для узлов, расположенных на глубине 0,25-2а ниже подошвы сооружения.

Таблица 8.1

Складывая напоры в четырех соседних узлах или в соответствующих им клетках табл. 8.1 и деля их на четыре, получнм напоры в последующий момент времени Ы и таким образом заполним почти всю таблицу для точки 2 графика роста нагрузки. Как и раньше, на водонепроницаемых границах принимаем Я = 0, а в фиктивных узлах водонепроницаемого участка напоры—равными полученным в симметричных узлах внутри массива. По краям табл. 8.1, 2 ее клетки не могут быть заполнены путем расчета по формуле (8.101), так как нет значений напоров в соседнем узле. Поэтому в этих крайних узлах напоры определяют путем простейшей линейной экстраполяции после заполнения таблицы расчетом по зависимости (8. 70). Для узлов на осевой линии используют значения напоров в симметричных узлах сетки.

Далее в тот же момент времени АI происходит мгновенный рост нагрузки на величину Аг/_г (точка >5), поэтому соответствующие напоры (табл. 8.1, для точки 3) определятся путем сложения напоров таблиц для точек 2 и 1.

В следующий момент времени 2А{, т. е. при переходе из точки 3 в точку 4 нет изменения нагрузки и поэтому таблица для точки 4 получается в результате описанной выше операции Я/+1,,-,* = 0,25 5/,г,ьс напорами в таблице для точки 3. Эта операция иногда называется операцией выравнивания. Переход в точку 5 также сопровождается операцией выравнивания напоров в таблице для точки 4. Точка 6 достигается скачком нагрузки на и поэтому к полученным напорам опять добавляются напоры из таблицы для точки 1 и т. д. После достижения точки 8 дальнейший расчет изменения напоров во времени состоит только из одних операций выравнивания.

В результате для любого момента времени 1А1 может быть получено распределение напоров Я или избыточных давлений в поровой воде р = уН во всех узлах сетки. Характер распределения линий равных избыточных напоров для рассмотренного случая загружения основания показан на рис. 8.16, а.

Завершая рассмотрение примера, следует еще раз подчеркнуть, что при использовании вычислительной техники сетка может быть существенно измельчена и расширена, а уменьшая расчетный проме жуток времени АI и, как следствие Ад, можно лучше вписаться в действительный график роста нагрузки (см. рис. 8.7). В качестве алгоритма машинного счета легко может быть использовано уравнение консолидации в форме (8.64) или (8.66). Однако во всех случаях для обеспечения устойчивости численного решения необходимо, чтобы выполнялось условие а с 0,5, а < 0,25 и а < 0,17 для одномерной, двумерной и пространственной задач.

Введением во все формы уравнения консолидации коэффициента «в, определяемого по зависимости (8.48) как среднего для всей области консолидации, приближенно, но весьма просто, учитывается влия- а) ние защемленного газа. Не представляет затруднений учет анизотропии фильтрационных свойств грунтов в горизонтальном и вертикальном направлениях, а также неоднородности напластования грунтов [33, 34].

На процесс консолидации оснований весьма существенное влияние оказывает наличие и расположение дренажей. Так, например, устройство по подошве сооружения дренажа (рис. 8.17) изменяет направление фильтрации отжимаемой из пор грунта воды и приводит к существенному ускорению процесса консолидации основания. В расчетном отношении учет наличия дренажей в простейшем случае сводится к принятию в узлах сетки совпадающих с дреной в любой момент времени Н = 0, а в более общем случае Н = Н₃.

Еще более эффективный путь ускорения консолидации оснований— это устройство вертикальных дренажных прорезей или вертикальных скважин, заполненных дренирующим материалом (рис. 8.18), или вертикальных пластмассовых, бумажных и других дрен. В случае дренирующих скважин приходится решать пространственную задачу консолидации, в частности, используя уравнение консолидации в форме (8.67), разбивая основание пространственной сеткой (см. рис. 8.5, в).

Консолидация грунтовых сооружений. Особенностью этих задач является возникающая в большинстве случаев необходимость учета постепенности возведения грунтового сооружения, т. е. выполнения расчетов при меняющейся области консолидации грунта и возрастающих уплотняющих нагрузок. Только численные методы расчета с применением ЭВМ позволяют решать такие задачи консолидации.

Так же как и в случае консолидации основания, для более на глядной демонстрации техники численного решения рассмотрим простейший пример постепенного возведения подводной части дамбы (рис. 8.19) из однородного двухфазного грунта (со = 1, 7_х->оо, г`₀ = = 0), используя уравнение консолидации в форме (8.70).

Разбиваем весь профиль сооружения квадратной сеткой на слои толщиной А к и по известным характеристикам укладываемого грунта по зависимости (8.99) определяем величину расчетного промежутка времени А/. Тогда график возведения сооружения (рис. 8.19, б) заменяем близким к нему ступенчатым (расчетным) и таким образом

Рис. ).

Учитывая, что крайний узел сетки почти наполовину А к выходит за пределы действительного откоса для этой части слоя, принимаем 0,5 #₀ = 1 м. Далее производят операцию выравнивания (6, I = ЗА/), затем новый рост сооружения (7, / = ЗА/), снова операция выравнивания (<§, I = 4Л/), которая, учитывая отсутствие роста сооружения для точки 9 (I = 5А/), повторяется и т. д.

В результате на любом этапе возведения дамбы будем иметь таблицы напоров (табл. 8.2) в узловых точках расчетной сетки, по которым легко построить линии равных напоров (рис. 8.19, а).

Как уже отмечалось, применение основной расчетной модели В. А. Флорина и соответствующих ей численных методов решения задач консолидации позволяет использовать любой метод определения стабилизированных напряжений (0*). Поэтому при расчете консолидации грунтовых сооружений не обязательно использовать схему «гипотетического» грунта, хотя в случае однородных сооружений ее применение и не вносит существенных погрешностей в оценку самого процесса консолидации.

Как и в случае консолидации оснований, наличие в основании грунтовых сооружений водоупора существенно замедляет процесс их консолидации (рис. 8.20). Расположением дренажей внутри тела сооружения можно вызывать значительное ускорение процесса уплотнения и, как следствие, снижение давлений в поровой воде.

Расчет осадок сооружений во времени. Получаемые в результате расчета консолидации напоры Я или давления р в воде, заполняющей

поры грунта, непосредственно сами не представляют практического интереса и необходимы для оценки напряженного состояния деформаций и прочности грунта в рассматриваемый момент времени, в частности для расчета осадок сооружений во времени.

Рассмотрим особенности расчета осадок сооружений во времени на примере способа послойного суммирования осадок без учета боковых деформаций грунта (см. § 5.4) в частном случае нагрузки ц,

приложенной к поверхности основания (рис. 8.21). Основной особенностью методики такого расчета является определение напряжений ст» =а,₂(у_гр) +а_г(д), действующих в расчетный момент време-

Рис. 8.21. Схема к расчету осадки сооружения р нестабилизированном состоянии

ни в скелете грунта.Исходя из уравнения (8.43) <з_г(ч) = <т_г(?) —• р, где о1(с/) — стабилизированные напряжения в скелете грунта от действующей в расчетный момент времени нагрузки <7; р — давление в воде для расчетного момента времени, полученное из предварительного решения задачи консолидации (рис. 8.21) — Тогда, определяя для а» по компрессионной кривой соответствующее значение е% по формуле (5.6), как и для случая расчета конечной осадки 5*, подсчитывают осадку 5₍ в расчетный момент времени. Также могут использоваться зависимости (5.7) и (5.8) непосредственной подстановкой в них действующих в расчетный момент времени напряжений а₂ = а`г

Кроме того, в процессе консолидации изменяется активная глубина сжатия грунта Я_а. По мере уплотнения грунта, уменьшения давлений в поровой воде р и повышения напряжений в скелете грун

та а_г активная глубина увеличивается, постепенно приближаясь к активной глубине #_а, с оответствующей стабилизированному состоянию грунта.

Определяя осадку для различных моментов времени процесса консолидации, можно построить график осадки сооружения во времени (рис. 8.22). Только в результате такого расчета представляется возможным оценить величину осадки сооружения после окончания

Оценку осадки грунтовых сооружений после их полного возведения, т. е. осадки в эксплуатационный период или необходимого строительного подъема, можно также производить по зависимости (5.7)

где р1 — давления в поровой воде в момент окончания возведения грунтового сооружения или территории; к— высота грунтового сооружения.

Расчет устойчивости в нестабилизированном состоянии. Так как процесс консолидации сопровождается отжатием — фильтрацией воды из пор грунта, то при расчетах устойчивости сооружений, находящихся в нестабилизированном состоянии, необходим учет действия возникающих при этом фильтрационных сил. При использовании системы сил /* (см. § 7.3), т. е. замене действия объемных фильтрационных сил граничными давлениями в воде по контуру области выпора или обрушения, в состав их должны входить давления, возникающие в процессе консолидации грунта. Например, при расчете устойчивости массивного сооружения (рис. 8.23, а) на водонасыщенном основании в предположении круглоцилиндрических поверхностей скольжения, используя зависимости (7.22) или (7.24), необходимо по поверхности скольжения дополнительно к гидростатическому давлению Рг.ст приложить полученные из расчета консолидации основания избыточные давления в воде р_коно, т. е. в зависимостях (7.22) и (7.24) Рь = Рг.ст + Рконс- Со временем р_ко_нс уменьшается и коэффициент запаса устойчивости сооружения по мере уплотнения грунта увеличивается. Аналогичным путем учитывают процесс консолидации и при оценке устойчивости откосных сооружений. Например, получив для консолидирующегося в строительный период глинистого ядра плотины распределение избыточных давлений в поровой воде (рис. 8.23, б) можно в расчете устойчивости учесть нестабилизирован- ное состояние, приложив по границе поверхности скольжения в пределах ядра эпюру избыточных давлений в поровой воде, т. е. в этом случае р_г = р_конеосновные мероприятия по ускорению консолидации и повышению устойчивости сооружений в нестабилизированном состоянии. Наиболее эффективным путем ускорения процесса консолидации оснований и, как следствие, повышение их устойчивости является их дренирование, т. е. уменьшение путей фильтрации отжимаемой воды (например, из точки А на рис. 8.24, а—в). При устройстве вертикальных дрен (см. рис. 8.18 и 8.24, в) их глубиной и расположением в плане можно обеспечить любой срок практического завершения процесса консолидации.

Рис. 8.23. К расчету устойчивости основания (а) и плотины с глинистым ядром (б) в нестабилизированном состоянии

В случае сильно сжимаемых грунтов основания может применяться предварительная огрузка основания, укладывая в пределах будущего сооружения временную пригрузку слоем грунта с обязательным устройством дренирующей подушки (рис. 8.24, г). После окончания основной части осадки пригрузка убирается и возводится сооружение (рис. 8.24, г). Если давление от пригрузки близко или больше среднего давления от сооружения, то таким образом осадки самого сооружения можно довести до минимума. Для возможности управления сроками применения временной огрузки ее рационально применять в комплексе с вертикальными дренами. Таким образом, можно построить практически безосадочное сооружение на любых слабых грунтах и за любой срок.

В грунтовых сооружениях также может использоваться дренирование, например путем устройства горизонтальных дрен в теле хвостохранилища, намывая в прудковую зону прослой из более крупнозернистой части хвостов (рис. 8.24, д). Одним из путей ускорения консолидации глинистых противофильтрационных ядер и экранов плотин является уменьшение их толщины (рис. 8.24, е, ж), конечно, при условии обеспечения их фильтрационной прочности.

Основной путь уменьшения давления в поровой воде грунтовых сооружений или их противофильтрационных элементов из глинистых грунтов — это уменьшение сжимаемости грунтов, что обеспечивается уплотнением грунтов, например, укаткой или трамбованием в процессе их укладки или подбором их соответствующего гранулометрического состава. Последнее должно обеспечивать необходимую малую водопроницаемость грунта и достаточную жесткость его скелета, чего- иногда удается добиться, смешивая грунты различных карьеров — глинистого и крупнообломочного.

6.2 Диаграммы сдвигов/моментов – инженерная механика: статика

Глава 6: Внутренние силы

Диаграммы

сдвиг/момент представляют собой графическое представление внутренней поперечной силы и изгибающего момента вдоль всей балки.

Источник (изображение): XFEM Skier — собственная работа, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=29178249

Диаграмма силы сдвига

Это графическое представление изменение силы сдвига на части или по всей длине балки или рамы. По соглашению, диаграмму поперечной силы можно рисовать выше или ниже x — центральная ось конструкции, но она должна быть указана, если это положительная или отрицательная сила сдвига.

Диаграмма изгибающего момента

Это графическое изображение изменения изгибающего момента на сегменте или на всей длине балки или рамы. По соглашению положительные изгибающие моменты изображаются над центральной осью конструкции с размерами x , а отрицательные изгибающие моменты изображаются под осью.

Ниже приведен простой пример того, как выглядят диаграммы сдвига и момента, после чего будет обсуждаться связь между нагрузкой на балку и диаграммами. 92}=-w(x)[/латекс]

Или:

[латекс]\Delta M=\int V(x)dx[/латекс]

[латекс]\Delta V=\int w(x)dx[/латекс]

Итак, если есть постоянная распределенная нагрузка, то наклон сдвига будет линейным, а наклон момента будет параболическим. Если распределенная нагрузка равна 0, то сдвиг будет постоянным, а наклон момента будет линейным (как показано в примере 1 в следующем разделе).

Для вывода соотношений между w, V и M , рассмотрим свободно опертую балку, на которую действует равномерно распределенная нагрузка по всей ее длине, как показано на рисунке ниже. Пусть поперечная сила и изгибающий момент на участке, расположенном на расстоянии x от левой опоры, равны V и M соответственно, а на участке x + dx V 1 + dV и M + dM соответственно. Суммарная нагрузка, действующая через центр бесконечно малой длины, равна 92/2)}[/латекс]

[латекс]M+dM=M+Vdx[/латекс]

или

[латекс]\frac{dM}{dx}=V(x)[/латекс] (Уравнение 6.1)

Уравнение 6.1 подразумевает, что первая производная изгибающего момента по расстоянию равна поперечной силе. Уравнение также предполагает, что наклон диаграммы моментов в конкретной точке равен поперечной силе в той же точке. Уравнение 6.1 предлагает следующее выражение:

[латекс]\Delta M=\int V(x)dx[/латекс] (уравнение 6.2)

Уравнение 6.2 утверждает, что изменение момента равно площади под диаграммой сдвига. Аналогично, усилие сдвига в сечении x + dx равно:

[латекс]\frac{dV}{dx}=-w(x)[/латекс] (уравнение 6.3)

Из уравнения 6.3 следует, что первая производная силы сдвига по расстоянию равна интенсивности распределенная нагрузка. Уравнение 6.3 предлагает следующее выражение: 92}=-w(x)[/latex] (уравнение 6.5)

Уравнение 6.5 подразумевает, что вторая производная изгибающего момента по расстоянию равна интенсивности распределенной нагрузки.

Источник: Внутренние силы в балках и рамах, LibreTexts. https://eng.libretexts.org/Bookshelves/Civil_Engineering/Book%3A_Structural_Analysis_(Udoeyo)/01%3A_Chapters/1.04%3A_Internal_Forces_in_Beams_and_Frames

Существует множество методов, которые можно использовать для решения диаграммы сдвиг/момент. Во-первых, вы можете найти уравнение для каждой части и проинтегрировать, используя приведенные выше уравнения.

Во-вторых, вы можете использовать метод, показанный в предыдущем разделе, для расчета внутренних сил в важных точках (где приложены нагрузки, в начале и в конце распределенных нагрузок, в точках реакции). Нанесите эти точки на графики V и M в местах x, затем соедините точки, используя соответствующий наклон формы (подробнее об этом внизу этой страницы).

В-третьих, вы можете найти уравнения, используя уравнения равновесия (чтобы не было интегрирования/дифференцирования).

Адаптировано из оригинального источника https://eng. libretexts.org/Bookshelves/Civil_Engineering/Book%3A_Structural_Analysis_(Udoeyo)/01%3A_Chapters/1.04%3A_Internal_Forces_in_Beams_and_Frames

Нарисуйте FBD конструкции
Рассчитайте реакции, используя уравнения равновесия (может не потребоваться, если вы выбрали консольную балку и используете свободную сторону для FBD).
Сделайте разрез и сложите внутренние силы N V и M, используя положительный знак. В зависимости от количества загрузок может потребоваться несколько разрезов. Вспомним позитивную конвенцию:
Для сдвига найдите уравнение (выражение) сдвига, которое равно x расстоянию от начала координат (часто реакции) для каждого разреза.
На минутку, найдите уравнение (выражение) сдвига, которое равно x расстоянию от начала координат (часто реакции) для каждого разреза.
Нанесите эти уравнения на график друг над другом.

В остальной части этого раздела будет использоваться этот метод.

Пример 1

(адаптировано с https://eng. libretexts.org/Bookshelves/Civil_Engineering/Book%3A_Structural_Analysis_(Udoeyo)/01%3A_Chapters/1.04%3A_Internal_Forces_in_Beams_and_Frames)

Нарисуйте диаграммы поперечной силы и изгибающего момента для консольной балки, несущей сосредоточенную нагрузку в 5 фунтов на свободном конце на расстоянии 3 фута от стены.

1. Нарисуйте FBD конструкции

2. Рассчитайте реакции, используя уравнения равновесия (может не потребоваться, если вы выбрали консольную балку и используете свободную сторону для FBD).

Сначала вычислите реакции на опоре. Так как поддержка в B зафиксирован, на этой опоре будет три реакции, а именно B _y , B _x и M _B . Применение условий равновесия предполагает следующее:

[латекс]\сумма F_{x}=0: \quad \underline{B_{x}=0}[/латекс]

[латекс]\сумма F_{y}=0: \quad-5 фунтов+B_{y}=0[/латекс]
[латекс]\qquad \quad \underline{B_{y}=5 фунтов}[/ латекс]

[латекс]\сумма M_{B}=0: \quad(5 фунтов)(3 \mathrm{ft})-M=0[/латекс]
[латекс]\qquad \quad \underline{M=15 футов \cdot lb}[/latex]

3. Сделайте разрез и сложите внутренние силы N V и M, используя положительный знак. В зависимости от количества загрузок может потребоваться несколько разрезов

Требуется только 1 рез, поскольку в конце добавляется только 1 нагрузка. (Если бы он был посередине, нужно было бы рассмотреть 2 раздела). Значение x может быть от 0 до 3 футов.

4. Для сдвига найдите уравнение (выражение) сдвига, которое равно x расстоянию от начала координат (часто реакции) для каждого разреза.

x — расстояние от свободного конца консольной балки до выреза. Сила сдвига в этом сечении обусловлена приложенной нагрузкой. Используя уравнения равновесия,

[латекс]\сумма F_y = -5 фунтов — V = 0 \\ \qquad \quad \underline{V = — 5 фунтов} \text{ (- указывает, что V действует в противоположном направлении)}[/latex]

Постоянное число для сдвига означает, что оно не изменяется или изменяется на x. (Если бы была распределенная нагрузка, x был бы частью уравнения).

Знак «минус» указывает, что сдвиг действительно идет в противоположном направлении. (Это связано с тем, что правило знаков для поперечной силы гласит, что направленная вниз поперечная сила слева от рассматриваемого сечения вызовет отрицательное поперечное усилие на этом сечении.)

5. На данный момент найдите уравнение (выражение) сдвига, которое равно x расстоянию от начала координат (часто реакции) для каждого разреза.

Здесь x отсчитывается слева. Используя уравнения суммы моментов, найдите выражение для M. Вы можете суммировать моменты относительно конечной точки, где приложена нагрузка, или вы можете сделать это в движущейся точке x. Оба требуют одинакового усилия для решения этой задачи, поэтому давайте выберем левую сторону, где применяется 5 фунтов.

[латекс]\сумма M_L = -Vx — M = 0[/латекс]

[латекс]\qquad \quad M = + Vx = (-5 фунтов) * x[/латекс]

[латекс]\qquad \quad \underline{M = -(5lb)x } \text{ (знак минус указывает, что стрелка идет в другом направлении. }[/latex]

Полученное выражение справедливо для всей балки (область 0 < x < 3 футов). Отрицательный знак указывает на отрицательный момент, который был установлен из соглашения о знаках для момента, поэтому момент фактически движется в противоположном направлении. Момент, вызванный силой 5 фунтов, имеет тенденцию вызывать вогнутость сегмента балки с левой стороны сечения вниз, что соответствует отрицательному изгибающему моменту в соответствии с соглашением о знаках для изгибающего момента.

6. Нанесите эти уравнения на график друг над другом.

Обратите внимание: поскольку сила сдвига является постоянной величиной, она должна иметь одинаковую величину в любой точке балки. Условно диаграмму поперечных сил наносят выше или ниже линии, соответствующей нейтральной оси балки, но при этом должен быть указан знак «плюс», если это положительная поперечная сила, и знак «минус», если это положительная поперечная сила. отрицательное усилие сдвига. Способ проверить ответ состоит в том, чтобы убедиться, что сила реакции возвращает проблему к 0. Сдвиг равен -5 до последнего момента, когда сила реакции в +5lb возвращает силу к 0,9.0005

Поскольку функция изгибающего момента является линейной, диаграмма изгибающего момента представляет собой прямую линию. Таким образом, достаточно использовать два главных значения изгибающих моментов, определенных при х = 0 футов и при х = 3 фута, чтобы построить диаграмму изгибающих моментов. По соглашению диаграммы отрицательных изгибающих моментов строят ниже нейтральной оси балки, а диаграммы положительных изгибающих моментов строят над осью балки.

Обратите внимание, что единицы измерения включены в оси.

Вот второе объяснение того, как создавать диаграммы сдвиг/момент:

Диаграмма сдвига

Для создания диаграммы силы сдвига мы будем использовать следующий процесс.

Решите для всех внешних сил, действующих на тело.
Нарисуйте диаграмму свободного тела тела по горизонтали . Оставьте все распределенные силы как распределенные силы и не заменяйте их эквивалентной точечной нагрузкой.
Нарисуйте ряд осей под диаграммой свободного тела. Ось X будет представлять местоположение (совмещенное с приведенной выше диаграммой свободного тела), а ось Y будет представлять внутреннюю силу сдвига.
Начиная с нуля в правой части графика, вы будете двигаться вправо, обратите внимание на силы на диаграмме свободного тела выше. Двигаясь прямо по своему сюжету, держитесь ровно, за исключением…
- Прыжок вверх по величине силы для любой точечной силы, направленной вверх.
- Прыжок вниз по величине силы для любой точечной силы, падающей вниз.
- Для любых равномерно распределенных сил у вас будет линейный наклон , где величина распределенной силы представляет собой наклон линии (положительные наклоны для направленных вверх сил, отрицательные наклоны для направленных вниз сил).
- Для неравномерно распределенных сил форма графика диаграммы сдвига будет интегралом силовой функции .
- Вы можете игнорировать любые моменты или горизонтальные силы, действующие на тело.
К тому времени, когда вы дойдете до левого конца графика, вы всегда должны вернуться к обратно к нулю . Если вы не вернетесь к нулю, вернитесь и проверьте свою предыдущую работу.

Чтобы прочитать график, вам просто нужно найти интересующее место на диаграмме свободного тела выше и прочитать соответствующее значение по оси Y на вашем графике. Положительные числа представляют направленную вверх внутреннюю силу сдвига справа от поперечного сечения и направленную вниз силу слева, а отрицательные числа указывают направленную вниз внутреннюю силу сдвига справа от поперечного сечения и направленную вверх силу слева. Визуальное представление этих сил можно увидеть на диаграмме справа.

Диаграмма моментов

Диаграмма моментов отображает внутренний изгибающий момент в горизонтальной балке, на которую действует множество сил и моментов, перпендикулярных длине балки. В практических целях эта диаграмма часто используется в тех же обстоятельствах, что и диаграмма сдвига, и обычно обе диаграммы создаются для анализа в этих сценариях.

Чтобы создать диаграмму момента для вала, мы будем использовать следующий процесс.

Решите для всех внешних сил и моментов, создайте диаграмму свободного тела и диаграмму сдвига.
Нарисуйте ряд осей под диаграммой сдвига. Ось X будет представлять местоположение (в соответствии с приведенной выше диаграммой сдвига и диаграммой свободного тела), а ось Y будет представлять внутренний изгибающий момент.
Начиная с нуля в правой части графика, вы будете двигаться вправо, обратите внимание на диаграмму сдвига и моменты на диаграмме свободного тела выше. По мере того, как вы будете двигаться вправо по своему графику, диаграмма моментов будет в первую очередь 9-й.0268 интеграл диаграммы сдвига , кроме…
- Прыжок вверх по величине момента для любых отрицательных (по часовой стрелке) моментов.
- Перейти вниз на величину момента для любых положительных (против часовой стрелки) моментов.
- Вы можете игнорировать любые силы на диаграмме свободного тела.
К тому времени, когда вы дойдете до левого конца графика, вы всегда должны вернуться к нулю . Если вы не вернетесь к нулю, вернитесь и проверьте свою предыдущую работу.

Чтобы прочитать график, вам просто нужно найти интересующее место на диаграмме свободного тела выше и прочитать соответствующее значение по оси Y на вашем графике. Положительные внутренние моменты заставят луч изгибаться вниз (представьте форму улыбки), отрицательные внутренние моменты заставят луч изогнуться вверх (представьте, что форма хмурится). Вы также можете увидеть положительные и отрицательные внутренние моменты на рисунке справа.

Источник: Engineering Mechanics, Jacob Moore, et al. http://mechanicsmap. psu.edu/websites/6_internal_forces/6-4_shear_moment_diagrams/shear_moment_diagrams.html

Пример 2

Начертите диаграммы поперечной силы и изгибающего момента для консольной балки, подвергнутой равномерно распределенной нагрузке по всей ее длине, как показано на рис. 4.5а.

Ответ:

Реакции поддержки.

Сначала вычислите реакции на опоре. Поскольку опора B фиксирована, возможно, на этой опоре будет три реакции, а именно B _y , B _x и M _B , как показано на изображении со свободным телом. диаграмма на рис. 4.4б. Применение условий равновесия предполагает следующее:

Функция поперечной силы

Пусть х — расстояние произвольного сечения от свободного конца консольной балки, как показано на рис. 4.5б. Перерезывающая сила всех сил, действующих на отрезок балки слева от сечения, как показано на рис. 4.5д, определяется следующим образом:

Полученное выражение справедливо для всей балки. Знак минус указывает на отрицательную силу сдвига, которая была установлена из правила знаков для силы сдвига. Выражение также показывает, что сила сдвига линейно зависит от длины балки.

Диаграмма поперечной силы. Обратите внимание, что поскольку выражение для поперечной силы является линейным, его диаграмма будет состоять из прямых линий. Сила сдвига при x = 0 м и x = 5 м была определена и использована для построения диаграммы силы сдвига, как показано на рисунке 4.5c. Как показано на диаграмме, перерезывающая сила изменяется от нуля на свободном конце балки до 100 кН на закрепленном конце. Расчетную вертикальную реакцию B _y на опоре можно рассматривать как проверку правильности расчета и диаграммы.

Функция изгибающего момента

Выражение для изгибающего момента в сечении на расстоянии x от свободного конца консольной балки выглядит следующим образом:

Знак минус указывает на отрицательный момент, который был установлен из знака конвенции на данный момент. Как видно на рис. 4.5f, момент из-за распределенной нагрузки приводит к тому, что сегмент балки с левой стороны сечения имеет вогнутость вверх, что соответствует отрицательному изгибающему моменту в соответствии с соглашением о знаках для изгибающий момент.

Диаграмма изгибающего момента. Поскольку функция изгибающего момента параболическая, диаграмма изгибающего момента представляет собой кривую. Помимо двух основных значений изгибающего момента при х = 0 м и при х = 5 м, для правильного построения диаграммы изгибающих моментов следует определить моменты в других промежуточных точках. Диаграмма изгибающего момента балки показана на рис. 4.5d.

Источник: Внутренние силы в балках и рамах, Либретексты. https://eng.libretexts.org/Bookshelves/Civil_Engineering/Book%3A_Structural_Analysis_(Udoeyo)/01%3A_Chapters/1.04%3A_Internal_Forces_in_Beams_and_Frames

В следующих примерах показаны диаграммы сдвига и момента для каждой балки. Подробную информацию о том, как решить каждую из них, см. на странице https://eng.libretexts.org/Bookshelves/Civil_Engineering/Book%3A_Structural_Analysis_(Udoeyo)/01%3A_Chapters/1.04%3A_Internal_Forces_in_Beams_and_Frames

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Пример 6

Хотя есть исключения, эти правила в целом верны:

+V означает увеличение M
-V означает уменьшение M
Когда V = 0, это максимум или минимум M

Как начинается/заканчивается каждый сюжет? Реакции только при отсутствии приложенной нагрузки/моментов на концах:

Консоль:
- При запуске/реакции: Ненулевые V и M
- В конце/неподдерживаемом конце: 0 для обоих
Просто поддерживается
- Для V: начало и конец с силами реакции
- Для M: начало и конец с нуля
Где находятся «скачки» или точка перегиба, где линии меняются?
- В V силы «прыгают» вверх или вниз там, где действуют силы, в соответствии с направлением их приложения (также реакции)
- В M моменты прыгают вверх или вниз там, где действуют приложенные моменты, в соответствии с направлением
Связь между графами
- При увеличении наклона M сдвиг должен быть положительным
- При уменьшении наклона M сдвиг должен быть отрицательным
- Когда V положительно, М должно увеличиваться
- Когда V отрицательно, M должно уменьшаться
- Когда интенсивность положительная, V должно увеличиваться
- Когда интенсивность отрицательная, V должно уменьшаться
- Точки перегиба на графике M (где наклон линии меняется с отрицательного на положительный и максимальные/минимальные значения) должны быть равны 0 на графике V
- Нулевое значение на графике V должно давать максимальное или минимальное значение на графике M

На следующем рисунке показано соотношение между производными. Помните, что производная x2 (квадратичная) = x (линейная). Производная x (линейная) является постоянным числом. Производная постоянного числа равна 0. Производной момента является сдвиг, поэтому, если у вас есть форма момента, используйте эту цифру, чтобы аппроксимировать форму сдвига, спускаясь по графикам.

При переходе от сдвига к моменту верно обратное. Интеграл сдвига есть момент. Интеграл от 0 является постоянным числом. Интеграл постоянного числа линейный. Интеграл от линейного квадратичен. (Интеграл от квадратного кубический). Эта прогрессия перемещает графики снизу вверх.

Существует несколько онлайн-программ, которые могут помочь подтвердить найденную форму или помочь вам научиться преобразовывать нагрузки в диаграммы сдвига и момента. Их нельзя использовать на экзамене или в домашних заданиях, и их бесплатные версии ограничены. Это не одобрение какого-либо из сайтов, а просто демонстрация инструментов обучения.

https://skyciv. com/free-beam-calculator/
https://clearcalcs.com/freetools/beam-analysis/au
https://beamguru.com/beam/

В основном: Диаграммы сдвига/моментов графически отображают внутренние нагрузки вдоль балки.

Применение : Это может помочь вам определить основные точки напряжения, чтобы обеспечить более безопасную конструкцию.

Глядя в будущее : Вы будете использовать это больше в своем классе структур.

Диаграмма изгибающего момента — форма и кривизна

Диаграмма изгибающего момента — форма и кривизна

Изгибающий момент требуется для расчета балки и
также для расчета
наклон и
отклонение луча. Следующие примеры будут
проиллюстрировать, как написать уравнение изгибающего момента для различных типов
нагрузки, а затем построить диаграммы изгибающих моментов.

Случай I Изгибающий момент
точечная нагрузка

Изгибающий момент от точки
нагрузка является произведением нагрузки и ее перпендикулярного расстояния от
суть момента. как показано ниже.

Рассмотрим кантилевер, на который воздействует
точечная нагрузка на свободный конец.

Изгибающий момент на закрепленном конце = W
х л =
ВЛ

Изгибающий момент M _x при
расстояние x от свободного конца = W x
х = Wx

Это уравнение прямой и
построенная диаграмма изгибающего момента на приведенном выше рисунке показывает, что изменение
изгибающий момент по пролету кантилевера представляет собой прямую.

Случай II Изгибающий момент
равномерно распределенная нагрузка

Изгибающий момент от равномерно
распределенная нагрузка (udl) составляет
равна интенсивности нагрузки

х длина груза

Икс
расстояние его центра от точки момента, как показано на
следующие примеры.

Изгибающий момент на закрепленном конце =
10 х 2
х 1= 20 кНм

Изгибающий момент M _x при
расстояние «х» от свободного конца = 10 х
(х) х
(х/2)= 0,5 х ²

которая является функцией второй степени
«x» и, следовательно, параболический.

Случай III Изгибающий момент из-за
равномерно изменяющаяся нагрузка

Изгибающий момент от переменной нагрузки равен
равна площади диаграммы нагрузки
x расстояние от его центра тяжести
с точки зрения момента.

Форма диаграммы изгибающего момента, обусловленная
к равномерно меняющейся нагрузке представляет собой кубическую параболу.

Случай IV Изгибающий момент
пара

Изгибающий момент в сечении из-за
пара равна величине пары и в том же смысле
как пара.

Следующие примеры будут очень полезны для объяснения того, как
напишите уравнения для поперечной силы
и расчет изгибающих моментов и построить диаграммы для
консольные, свободно опертые и нависающие балки.

Пример 5-1

Пример 5-2

Пример 5-3

Пример 5-4

Вы также можете использовать следующие калькуляторы для изгибающего момента и поперечной силы

Калькулятор изгибающего момента для кантилевера

Калькулятор изгибающего момента для свободно опертой балки

Калькулятор изгибающего момента для нависающей балки

Калькулятор изгибающего момента для неподвижной балки

Дополнительные примеры решений

регулярно обновляемые

Отличные калькуляторы

Калькулятор трансформации напряжения
Расчет главного напряжения, максимального напряжения сдвига и их плоскостей

Калькулятор абсолютного анализа подвижной нагрузки
Определить Б.