Участок цепи состоит из двух последовательных: Рассмотрим следующую задачу. Участок цепи состоит из двух последовательно соединенных

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: параллельное и последовательное соединение проводников, смешанное соединение проводников.

Есть два основных способа соединения проводников друг с другом — это последовательное и параллельное соединения. Различные комбинации последовательного и параллельного соединений приводят к смешанному соединению проводников.

Мы будем изучать свойства этих соединений, но сначала нам понадобится некоторая вводная информация.

Проводник, обладающий сопротивлением , мы называем резистором и изображаем следующим образом (рис. 1):

Рис. 1. Резистор

Напряжение на резисторе — это разность потенциалов стационарного электрического поля между концами резистора. Между какими именно концами? В общем-то, это неважно, но обычно удобно согласовывать разность потенциалов с направлением тока.

Ток в цепи течёт от «плюса» источника к «минусу». В этом направлении потенциал стационарного поля убывает. Напомним ещё раз, почему это так.

Пусть положительный заряд перемещается по цепи из точки в точку , проходя через резистор (рис. 2):

Рис. 2.

Стационарное поле совершает при этом положительную работу .

Так как и , то и , т. е. .

Поэтому напряжение на резисторе мы вычисляем как разность потенциалов в направлении тока: .

Сопротивление подводящих проводов обычно пренебрежимо мало; на электрических схемах оно считается равным нулю. Из закона Ома следует тогда, что потенциал не меняется вдоль провода: ведь если и , то . (рис. 3):

Рис. 3.

Таким образом, при рассмотрении электрических цепей мы пользуемся идеализацией, которая сильно упрощает их изучение. А именно, мы считаем, что потенциал стационарного поля изменяется лишь при переходе через отдельные элементы цепи, а вдоль каждого соединительного провода остаётся неизменным. В реальных цепях потенциал монотонно убывает при движении от положительной клеммы источника к отрицательной.

При последовательном соединении проводников конец каждого проводника соединяется с началом следующего за ним проводника.

Рассмотрим два резистора и , соединённых последовательно и подключённых к источнику постоянного напряжения (рис. 4). Напомним, что положительная клемма источника обозначается более длинной чертой, так что ток в данной схеме течёт по часовой стрелке.

Рис. 4. Последовательное соединение

Сформулируем основные свойства последовательного соединения и проиллюстрируем их на этом простом примере.

1. При последовательном соединении проводников сила тока в них одинакова.
В самом деле, через любое поперечное сечение любого проводника за одну секунду будет проходить один и тот же заряд. Ведь заряды нигде не накапливаются, из цепи наружу не уходят и не поступают в цепь извне.

2. Напряжение на участке, состоящем из последовательно соединённых проводников, равно сумме напряжений на каждом проводнике.

Действительно, напряжение на участке — это работа поля по переносу единичного заряда из точки в точку ; напряжение на участке — это работа поля по переносу единичного заряда из точки в точку . Складываясь, эти две работы дадут работу поля по переносу единичного заряда из точки в точку , то есть напряжение на всём участке:

Можно и более формально, без всяких словесных объяснений:

3. Сопротивление участка, состоящего из последовательно соединённых проводников, равно сумме сопротивлений каждого проводника.

Пусть — сопротивление участка . По закону Ома имеем:

что и требовалось.

Можно дать интуитивно понятное объяснение правила сложения сопротивлений на одном частном примере. Пусть последовательно соединены два проводника из одинакового вещества и с одинаковой площадью поперечного сечения , но с разными длинами и .

Сопротивления проводников равны:

Эти два проводника образуют единый проводник длиной и сопротивлением

Но это, повторяем, лишь частный пример. Сопротивления будут складываться и в самом общем случае — если различны также вещества проводников и их поперечные сечения.
Доказательство этого даётся с помощью закона Ома, как показано выше.
Наши доказательства свойств последовательного соединения, приведённые для двух проводников, переносятся без существенных изменений на случай произвольного числа проводников.

При параллельном соединении проводников их начала подсоединяются к одной точке цепи, а концы — к другой точке.

Снова рассматриваем два резистора, на сей раз соединённые параллельно (рис. 5).

Рис. 5. Параллельное соединение

Резисторы подсоединены к двум точкам: и . Эти точки называются узлами или точками разветвления цепи. Параллельные участки называются также ветвями; участок от к (по направлению тока) называется неразветвлённой частью цепи.

Теперь сформулируем свойства параллельного соединения и докажем их для изображённого выше случая двух резисторов.

1. Напряжение на каждой ветви одинаково и равно напряжению на неразветвлённой части цепи.
В самом деле, оба напряжения и на резисторах и равны разности потенциалов между точками подключения:

Этот факт служит наиболее отчётливым проявлением потенциальности стационарного электрического поля движущихся зарядов.

2. Сила тока в неразветвлённой части цепи равна сумме сил токов в каждой ветви.
Пусть, например, в точку за время из неразветвлённого участка поступает заряд . За это же время из точки к резистору уходит заряд , а к резистору — заряд .

Ясно, что . В противном случае в точке накапливался бы заряд, меняя потенциал данной точки, что невозможно (ведь ток постоянный, поле движущихся зарядов стационарно, и потенциал каждой точки цепи не меняется со временем). Тогда имеем:

что и требовалось.

3. Величина, обратная сопротивлению участка параллельного соединения, равна сумме величин, обратных сопротивлениям ветвей.
Пусть — сопротивление разветвлённого участка . Напряжение на участке равно ; ток, текущий через этот участок, равен . Поэтому:

Сокращая на , получим:

(1)

что и требовалось.

Как и в случае последовательного соединения, можно дать объяснение данного правила на частном примере, не обращаясь к закону Ома.
Пусть параллельно соединены проводники из одного вещества с одинаковыми длинами , но разными поперечными сечениями и . Тогда это соединение можно рассматривать как проводник той же длины , но с площадью сечения . Имеем:

Приведённые доказательства свойств параллельного соединения без существенных изменений переносятся на случай любого числа проводников.

Из соотношения (1) можно найти :

(2)

К сожалению, в общем случае параллельно соединённых проводников компактного аналога формулы (2) не получается, и приходится довольствоваться соотношением

(3)

Тем не менее, один полезный вывод из формулы (3) сделать можно. Именно, пусть сопротивления всех резисторов одинаковы и равны . Тогда:

откуда

Мы видим, что сопротивление участка из параллельно соединённых одинаковых проводников в раз меньше сопротивления одного проводника.

Смешанное сединение проводников, как следует из названия, может являться совокупностью любых комбинаций последовательного и параллельного соединений, причём в состав этих соединений могут входить как отдельные резисторы, так и более сложные составные участки.

Расчёт смешанного соединения опирается на уже известные свойства последовательного и параллельного соединений. Ничего нового тут уже нет: нужно только аккуратно расчленить данную схему на более простые участки, соединённые последовательно или параллельно.

Рассмотрим пример смешанного соединения проводников (рис. 6).

Рис. 6. Смешанное соединение

Пусть В, Ом, Ом, Ом, Ом, Ом. Найдём силу тока в цепи и в каждом из резисторов.

Наша цепь состоит из двух последовательно соединённых участков и . Сопротивление участка :

Ом.

Участок является параллельным соединением: два последовательно включённых резистора и подключены параллельно к резистору . Тогда:

Ом.

Сопротивление цепи:

Ом.

Теперь находим силу тока в цепи:

A.

Для нахождения тока в каждом резисторе вычислим напряжения на обоих участках:

B;

B.

(Заметим попутно, что сумма этих напряжений равна В, т. е. напряжению в цепи, как и должно быть при последовательном соединении.)

Оба резистора и находятся под напряжением , поэтому:

A;

A.

(В сумме имеем А, как и должно быть при параллельном соединении.)

Сила тока в резисторах и одинакова, так как они соединены последовательно:

А.

Стало быть, через резистор течёт ток A.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Соединения проводников» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. i$ всего для двух последовательных целых чисел, можем ли мы заключить, что $G$ абелева? 9i=e$ для всех $g$. Однако это верно для любой конечной группы, абелевой или нет, если, например, мы положим $i=k|G|$ для любого целого числа $k$.

$\endgroup$

2

вероятность — Какое ожидаемое количество раз нужно бросить игральную кость, чтобы выпали две шестерки подряд?

спросил
10 лет, 7 месяцев назад

Изменено
7 месяцев назад

Просмотрено
79 тысяч раз

$\begingroup$

В общем, сколько раз в среднем нужно бросать, чтобы ожидать две шестерки подряд?

• вероятность
• статистика
• кости

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Вместо того, чтобы находить распределение вероятности, а затем математическое ожидание, мы можем работать непосредственно с ожиданием. Часто это полезная стратегия.

Пусть $a$ будет ожидаемым дополнительным временем ожидания, если мы только что не подбросили $6$. В начале мы, конечно же, не просто бросили $6$, поэтому $a$ — это требуемое математическое ожидание. Пусть $b$ будет ожидаемым дополнительным временем ожидания, если мы только что подбросили $6$.

Если мы только что не бросили $6$, то с вероятностью $\frac{5}{6}$ мы подбрасываем не $6$ (стоимость: подбрасывание $1$), и наше ожидаемое дополнительное время ожидания по-прежнему равно $a$ . С вероятностью $\frac{1}{6}$ мы подбрасываем $6$ (стоимость: $1$ подбрасывания), и наше ожидаемое дополнительное время ожидания равно $b$. Таким образом
$$a=1+\frac{5}{6}a+\frac{1}{6}b.$$
Если мы только что бросили $6$, то с вероятностью $\frac{5}{6}$ мы подбросили не $6$, и тогда наше ожидаемое дополнительное время ожидания равно $a$. (С вероятностью $\frac{1}{6}$ игра окончена.) Таким образом,
$$b=1+\frac{5}{6}a.$$
У нас есть два линейных уравнения с двумя неизвестными. Найдите $a$. Получаем $a=42$.

$\endgroup$

6

$\begingroup$

Формула доказана по ссылке, которую дал Байрон. Я просто попытаюсь передать вам свою интуицию относительно формулы.

Вероятность того, что на двух кубиках выпадет 6, составляет $1/36$. Таким образом, если вы считаете, что бросаете два кубика одновременно как одно испытание, это потребует в среднем 36 долларов испытаний.

Однако в этом случае вы бросаете по одному кубику за раз и смотрите на два последовательных броска. Среднее количество попыток увидеть первые 6 — $6$ раз. Предположим, мы бросаем еще один раз, чтобы увидеть, являются ли две шестерки последовательными. Запишите последовательность всех бросков как

$$???????6?$$

где $?$ означает любое число, отличное от 6. Длина этой последовательности случайна, но средняя длина этой последовательности составляет $7$.

Теперь вопрос в том, сколько последовательностей этого типа мы увидим, прежде чем получим последовательность, оканчивающуюся на $66$. Поскольку нас интересует только последнее число последовательности, существует вероятность $1/6$, что последовательность закончится на $66$. Тот же аргумент говорит о том, что среднее количество последовательностей, которое нам понадобится, равно $6$. Умножьте это на среднюю длину последовательности, чтобы получить $7 \cdot 6 = 42$ в качестве ответа.

Этот аргумент обобщается на более чем $2$ последовательных шестерок по индукции. Например, если вы хотите $3$ последовательных 6, вы рассматриваете последовательности, которые выглядят так:

$$
??????66?
$$

Средняя длина последовательности этого типа $42 + 1 = 43$. Следовательно, ответ $43 \cdot 6 = 258$.

Нетрудно обобщить эту ситуацию. Общая форма: $L_{n+1} = \frac{1}{p}(L_n + 1)$, где $p$ — вероятность появления желаемого символа, а $L_n$ — среднее количество попыток до тех пор, пока не первое вхождение $n$ последовательных искомых символов. (По определению $L_0 = 0$.) Это повторение можно довольно легко решить, используя ту же формулу, что и в ссылке Байрона. (Доказательство, по сути, то же самое, но моя версия неформальна.) 92=1650$.

Таким образом, ожидаемое количество бросков равно $42$ со стандартным отклонением $\sqrt{1650}\приблизительно40,62$.

Распределение:
Вот график вероятностей получения двойных 6$ в конкретном броске. Меня удивило, что вероятность выпадения $3$ и $4$ равна $\frac5{216}$.

$\hspace{2cm}$

Расширение: Я добавил ответ производящей функции на более общий вопрос, на который Байрон ссылается в своем ответе. 92+6=42$.

$\endgroup$

17

$\begingroup$

Дополнение к ответу Андре. Основу, предложенную в решении, можно обобщить, чтобы получить формулу ожидаемого времени при $t = 0$ для $n$ последовательных бросков любого числа в кости следующим образом. Пусть $a_1$ = ожидаемое дополнительное время ожидания, если мы только что не подбросили интересующее число (скажем, шесть), $a_{n}$ = ожидаемое дополнительное время ожидания, учитывая, что мы подбросили $n-1$ шестерок в $t = п-1$. Затем, основываясь на схеме Андре, мы можем рекурсивно решить следующую систему уравнений, чтобы получить формулу ожидаемого времени для получения $n$ последовательных бросков любого числа в кости: 9{n+1} — 6)\frac{6}{5} + 6$$

Результат, указанный Андре, получается, когда мы устанавливаем $n = 1$, т.е. ожидаемое время ожидания для одного последовательного броска. Кроме того, мы видим, что для нулевого последовательного броска мы должны бросить 6 раз, чтобы получить шестерку, что соответствует тому, что мы знаем о честных костях.

$\endgroup$

$\begingroup$

Другой метод заключается в приближении к этому с помощью линейной алгебры и использования поглощающих цепей Маркова и стохастических матриц.