Сумма напряжений по замкнутому контуру: Первый и второй законы Кирхгофа

Содержание

Первый и второй законы Кирхгофа

В сложных электрических цепях, то есть где имеется несколько разнообразных ответвлений и несколько источников ЭДС имеет место и сложное распределение токов. Однако при известных величинах всех ЭДС и сопротивлений резистивных элементов в цепи мы можем вычистить значения этих токов и их направление в любом контуре цепи с помощью первого и второго закона Кирхгофа. Суть законов Кирхгофа я довольно кратко изложил в своем учебнике по электронике, на страницах сайта http://www.sxemotehnika.ru.

Пример сложной электрической цепи вы можете посмотреть на рисунке 1.

Рисунок 1. Сложная электрическая цепь.

Иногда законы Кирхгофа называют правилами Кирхгофа, особенно в старой литературе.

Итак, для начала напомню все-таки суть первого и второго закона Кирхгофа, а далее рассмотрим примеры расчета токов, напряжений в электрических цепях, с практическими примерами и ответами на вопросы, которые задавались мне в комментариях на сайте.

Первый закон Кирхгофа

Формулировка №1: Сумма всех токов, втекающих в узел, равна сумме всех токов, вытекающих из узла.

Формулировка №2: Алгебраическая сумма всех токов в узле равна нулю.

Поясню первый закон Кирхгофа на примере рисунка 2.

Рисунок 2. Узел электрической цепи.

Здесь ток I₁— ток, втекающий в узел , а токи I₂ и I₃ — токи, вытекающие из узла. Тогда применяя формулировку №1, можно записать:

I₁ = I₂ + I₃ (1)

Что бы подтвердить справедливость формулировки №2, перенесем токи I₂ и I₃ в левую часть выражения (1), тем самым получим:

I₁ — I₂ — I₃ = 0 (2)

Знаки «минус» в выражении (2) и означают, что токи вытекают из узла.

Знаки для втекающих и вытекающих токов можно брать произвольно, однако в основном всегда втекающие токи берут со знаком «+», а вытекающие со знаком «-» (например как получилось в выражении (2)).

Можно посмотреть отдельный видеоурок по первому закону Кирхофа в разделе ВИДЕОУРОКИ.

Второй закон Кирхгофа.

Формулировка: Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех резистивных элементах в этом контуре.

Здесь термин «алгебраическая сумма» означает, что как величина ЭДС так и величина падения напряжения на элементах может быть как со знаком «+» так и со знаком «-». При этом определить знак можно по следующему алгоритму:

1. Выбираем направление обхода контура (два варианта либо по часовой, либо против).

2. Произвольно выбираем направление токов через элементы цепи.

3. Расставляем знаки для ЭДС и напряжений, падающих на элементах по правилам:

— ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура записываются со знаком «+», в противном случае ЭДС записываются со знаком «-».

— напряжения, падающие на элементах цепи записываются со знаком «+», если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, в противном случае напряжения записываются со знаком «-».

Например, рассмотрим цепь, представленную на рисунке 3, и запишем выражение согласно второму закону Кирхгофа, обходя контур по часовой стрелке, и выбрав направление токов через резисторы, как показано на рисунке.

Рисунок 3. Электрическая цепь, для пояснения второго закона Кирхгофа.

E₁— Е₂ = -UR₁ — UR₂ или E₁ = Е₂ — UR₁ — UR₂ (3)

Предлагаю посмотреть отдельный видеоурок по второму закону Кирхогфа (теория).

Расчеты электрических цепей с помощью законов Кирхгофа.

Теперь давайте рассмотрим вариант сложной цепи, и я вам расскажу, как на практике применять законы Кирхгофа.

Итак, на рисунке 4 имеется сложная цепь с двумя источниками ЭДС величиной E₁=12 в и E₂=5 в , с внутренним сопротивлением источников r₁=r₂=0,1 Ом, работающих на общую нагрузку R = 2 Ома. Как же будут распределены токи в этой цепи, и какие они имеют значения, нам предстоит выяснить.

Рисунок 4. Пример расчета сложной электрической цепи.

Теперь согласно первому закону Кирхгофа для узла А составляем такое выражение:

I = I₁ + I₂,

так как I₁ и I₂ втекают в узел А, а ток I вытекает из него.

Используя второй закон Кирхгофа, запишем еще два выражения для внешнего контура и внутреннего левого контура, выбрав направление обхода по часовой стрелке.

Для внешнего контура:

E₁-E₂ = Ur₁ – Ur₂ или E₁-E₂ = I₁*r₁ – I₂*r₂

Для внутреннего левого контура:

E₁ = Ur₁ + UR или E₁ = I₁*r₁ + I*R

Итак, у нас получилась система их трех уравнений с тремя неизвестными:

I = I₁ + I₂;

E₁-E₂ = I₁*r₁ – I₂*r₂;

E₁ = I₁*r₁ + I*R.

Теперь подставим в эту систему известные нам величины напряжений и сопротивлений:

I = I₁ + I₂;

7 = 0,1I₁ – 0,1I₂;

12 = 0,1I₁ +2I.

Далее из первого и второго уравнения выразим ток I₂

I₂=I — I₁;

I₂ = I₁ – 70;

12 = 0,1I₁ + 2I.

Следующим шагом приравняем первое и второе уравнение и получим систему из двух уравнений:

I — I₁= I₁ – 70;

12 = 0,1I₁ + 2I.

Выражаем из первого уравнения значение I

I = 2I₁– 70;

И подставляем его значение во второе уравнение

12 = 0,1I₁ + 2(2I₁ – 70).

Решаем полученное уравнение

12 = 0,1I₁ + 4I₁ – 140.

12 + 140= 4,1I₁

I₁=152/4,1

I₁=37,073 (А)

Теперь в выражение I = 2I₁– 70 подставим значение

I₁=37,073 (А) и получим:

I = 2*37,073 – 70 = 4,146 А

Ну, а согласно первому закона Кирхгофа ток I₂=I — I₁

I₂=4,146 — 37,073 = -32,927

Знак «минус» для тока I₂ означает, то что мы не правильно выбрали направление тока, то есть в нашем случае ток I₂ вытекает из узла А.

Теперь полученные данные можно проверить на практике или смоделировать данную схему например в программе Multisim.

Скриншот моделирования схемы для проверки законов Кирхгофа вы можете посмотреть на рисунке 5.

Рисунок 5. Сравнение результатов расчета и моделирования работы цепи.

Для закрепления результатата предлагаю посмотреть подготовленное мной видео:

Правила (законы) Кирхгофа простыми словами: формулировки и расчеты

На практике часто встречаются задачи по расчётам параметров токов и напряжений в различных разветвлённых цепях. В качестве инструмента для расчётов используют правила Кирхгофа (в некоторой литературе их называют еще законами, хотя это не совсем корректно) – одни из фундаментальных правил, которые совместно с законами Ома позволяет определять параметры независимых контуров в самых сложных цепях.

Учёный Густав Киргхоф сформулировал два правила [1], для понимания которых введено понятие узла, ветви, контура. В нашей ситуации ветвью будем называть участок, по которому протекает один и тот же ток. Точки соединения ветвей образуют узлы. Ветви вместе с узлами образуют контуры – замкнутые пути, по которым течёт ток.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Густава Кирхгофа сформулировано исходя из закона сохранения заряда. Физик понимал, что заряд не может задерживаться в узле, а распределяется по ветвям контура, образующим это соединение.

Кирхгоф предположил, а впоследствии обосновал на основании экспериментов, что количество зарядов зашедших в узел такое же, как и количество тока вытекающего из него.

На рисунке 1 изображена простая схема, состоящая из контуров. Точками A, B, C, D обозначены узлы контура в центре схемы.

Рис. 1. Схема контура

Ток I₁ входит в узел A, образованный ветвями контура. На схеме электрический заряд распределяется в двух направлениях – по ветвям AB и AD. Согласно правилу Кирхгофа, входящий ток равен сумме выходящих: I₁= I₂ + I₃.

На рисунке 2 представлен абстрактный узел, по ветвям которого течёт ток в разных направлениях. Если сложить векторы i₁, i₂, i₃, i₄ то, согласно первому правилу Кирхгофа, векторная сумма будет равняться 0: i₁ + i₂+ i₃ + i₄ = 0. Ветвей может быть сколько угодно много, но равенство всегда будет справедливым, с учётом направления векторов.

Рис. 2. Абстрактный узел

Запишем наши выводы в алгебраической форме, для общего случая:

Для использования этой формулы, требуется учитывать знаки. Для этого необходимо выбрать направление одного из векторов тока (не важно, какого) и обозначить его знаком «плюс». При этом знаки всех других величин определить, исходя от их направления, по отношению к выбранному вектору.

Чтобы избежать путаницы, ток, направленный в точку узла, принято считать положительным, а векторы, направленные от узла – отрицательными.

Изложим первое правило Кирхгофа, выраженное приведённой выше формулой: «Алгебраическая сумма сходящихся в определённом узле токов, равна нулю, если считать входящие токи положительными, а отходящими – отрицательными».

Первое правило дополняет второе правило, сформулированное Кирхгофом. Перейдём к его рассмотрению.

Второе правило Киргхофа

Из третьего уравнения Максвелла вытекает правило Кирхгофа для напряжений. Его ещё называют вторым законом.

Это правило гласит, что в замкнутом контуре, на резистивных элементах, алгебраическая сумма напряжений (включая внутренние), равна сумме ЭДС, присутствующих в этом же замкнутом контуре.

При этом токи и ЭДС, векторы которых совпадают с направлением (выбирается произвольно) обхода контура, считаются положительными, а встречные к обходу токи – отрицательными.

Рис. 4. Иллюстрация второго правила Кирхгофа

Формулы, которые изображены на рисунке применяются в частных случаях для вычисления параметров простых схем.

Формулировки уравнений общего характера:

, где где L_k и C_k – это индуктивности и ёмкости, соответственно.

Линейные уравнения справедливы как для линейных, так и для нелинейных линеаризованных цепей. Они применяются при любом характере временных изменений токов и напряжений, для разных источников ЭДС. При этом законы Кирхгофа справедливы и для магнитных цепей. Это позволяет выполнять вычисления для поиска соответствующие параметров.

Закон Кирхгофа для магнитной цепи

Применение независимых уравнений возможно и при расчётах магнитных цепей. Сформулированные выше правила Кирхгофа справедливы и для вычисления параметров магнитных потоков и намагничивающих сил.

Рис. 4. Магнитные контуры цепей

В частности: ∑Ф=0.

То есть, для магнитных потоков первое правило Кирхгофа можно выразить словами: «Алгебраическая сумма всевозможных магнитных потоков относительно узла магнитной цепи равняется нулю.

Сформулируем второе правило для намагничивающих сил F: «В замкнутом магнитном контуре алгебраическая сумма намагничивающих сил приравнивается к сумме магнитных напряжений». Данное утверждение выражается формулой: ∑F=∑U или ∑Iω = ∑НL, где ω – количество витков, H – напряжённость магнитного поля, символ L обозначает длину средней линии магнитопровода. ( Условно принимается, что каждая точка этой линии совпадает с линиями магнитной индукции).

Второе правило, применяемое для вычисления магнитных цепей, есть не что иное, как альтернативная форма представления закона полного тока.

Примечание: Составляя уравнения с использованием формул, вытекающих из правил Кирхгофа, надо прежде определиться с положительным направлением потоков, функционирующих в ветвях, сопоставив их с направлением обходов существующих контуров.

При совпадении векторов магнитного потока с направлениями обхода (на некоторых участках), падение напряжения на этих ветвях берём со знаком « + », а встречные ему – со знаком « – ».

Примеры расчета цепей

Рассмотрим ещё раз рисунок 3. На нём изображено 4 разнонаправленных вектора: i₁, i₂, i₃, i₄. Из них – два входящие ( i₂, i₃) и два исходящие из узла (i₁, i₄). Положительными будем считать те векторы, которые направлены в точку соединения ветвей, а остальные – отрицательными.

Тогда, по формуле Кирхгофа, составим уравнение и запишем его в следующем виде: – i₁ + i₂ + i₃ – i₄ = 0.

На практике такие узлы являются частью контуров, обходя которые можно составить ещё несколько линейных уравнений с этими же неизвестными. Количество уравнений всегда достаточно для решения задачи.

Рассмотрим алгоритм решения на примере рис. 5.

Рис. 5. Пример для расчёта

Схема содержит 3 ветви и два узла, которые образуют три пары по два независимых контура:

1 и 2.
1 и 3.
2 и 3.

Запишем независимое уравнение, выполняющееся, например, в точке а. Из первого правила Кирхгофа вытекает: I₁ + I₂ – I₃ = 0.

Воспользуемся вторым правилом Кирхгофа. Для составления уравнений можно выбрать любой из контуров, но нам необходимы контуры с узлом а, так как для него мы уже составили уравнение. Это будут контуры 1 и 2.

Пишем уравнения:

I₁R₁ + I₃R₃ = E₁;
I₂R₂ + I₃R₃ = E₂.

Решаем систему уравнений:

Так как значения R и E известны (см. рисунок 5), мы придём к системе уравнений:

Решая эту систему, получим:

I₁ = 1,36 (значения в миллиамперах).
I₂ = 2,19 мА.;
I₃ = 3,55 мА.

Потенциал узла а равен: U_a = I₃*R₃ = 3,55 × 3 = 10,65 В. Чтобы убедиться в верности наших расчётов, проверим выполнение второго правила по отношению к контуру 3:

E₁ – E₂ + I₁R₁+ I₂R₂ = 12 – 15 + 1,36 – 4,38 = – 0,02 ≈ 0 (с учётом погрешностей, связанных с округлениями чисел при вычислениях).

Если проверка выполнения второго правила успешно завершена, то расчёты сделаны правильно, а полученные данные являются достоверными.

Применяя правила (законы) Кирхгофа можно вычислять параметры электрической энергии для магнитных цепей.

Закон Кирхгофа о напряжении — справочник Digilent

Понимание контуров в цепи

Закон тока Кирхгофа и закон напряжения Кирхгофа являются основой для анализа схем с сосредоточенными параметрами. Эти законы вместе с вольтамперными характеристиками элементов цепи в системе дают нам возможность производить систематический анализ любой электрической сети. В этом разделе представлен закон напряжения Кирхгофа.

KVL зависит от концепции цикла. Петля — это любой замкнутый путь в цепи, который не встречается ни с одним узлом более одного раза. По сути, чтобы создать петлю, начните с любого узла в цепи и проследите путь по цепи, пока не вернетесь к исходному узлу. Понятие цикла, вероятно, проще всего объяснить с помощью нескольких простых примеров, которые мы привели ниже.

Пример 1:

Закон напряжения Кирхгофа (обычно сокращенно KVL) гласит:
Альтернативная формулировка этого закона:
- Сумма повышений напряжения на замкнутом контуре должна равняться сумме падений напряжения на контуре.
Или даже:
- При обходе контура вы должны вернуться к тому же напряжению, с которого начали.

Примечание

Полярность напряжения в петле основана на предполагаемой полярности разности напряжений в петле. Пока предполагаемые направления напряжений одинаковы от петли к петле, окончательный результат анализа будет отражать фактических полярностей напряжения в цепи.

Пример 2:

На рисунке ниже предполагаемая полярность напряжений В ₁ , В ₂, V ₃, V ₄, V ₅ и V ₆, как показано. В схеме возможны три петли: a-b-e-d-a, a-b-c-e-d-a и b-c-e-b. Мы применим KVL к каждому из этих циклов.

Наше соглашение о знаках для применения знаков к полярностям напряжения в наших уравнениях КВЛ будет следующим: при обходе контура, если положительный вывод разности напряжений встречается перед отрицательным выводом, разность напряжений будет интерпретироваться как положительный в уравнении КВЛ. Если отрицательная клемма встречается первой, разница напряжений будет интерпретироваться как минус в уравнении KVL. Мы используем это соглашение о знаках для удобства; для правильного применения КВЛ это не требуется, лишь бы знаки разности напряжения трактовались последовательно.

Применение KVL к циклу a-b-e-d-a и использование нашего соглашения о знаках, как указано выше, приводит к следующему результату:

$${V_1} — {V_4} — {V_6} — {V_3} = 0$$

Начальная точка цикла и направление, в котором мы зацикливаемся, произвольны; мы могли бы эквивалентно написать то же уравнение цикла, что и цикл d-e-b-a-d , и в этом случае наше уравнение стало бы таким:

$${V_6} + {V_4} — {V_1} + {V_3} = 0$$

Это уравнение идентично предыдущему уравнению, с той лишь разницей, что знаки всех переменных изменились и переменные стоят в уравнении в другом порядке. Теперь мы применяем KVL к циклу b-c-e-b, что приводит к:

$$- {V_2} + {V_5} + {V_4} = 0$$

Наконец, применение КВЛ к контуру a-b-c-e-d-a обеспечивает:

$${V_1} — {V_2} + {V_5} — {V_6} — {V_3} = 0$$

Важный момент

Закон напряжения Кирхгофа гласит, что сумма разностей напряжений вокруг любого замкнутого контура в цепи должна быть равна нулю. Петля в цепи — это любой путь, который заканчивается в той же точке, в которой он начинается.

Проверьте свои знания

1. Какое напряжение V в цепи ниже?

2. Какое напряжение V в цепи ниже?

3. Какое напряжение V в цепи ниже? (Подсказка: это вопрос с подвохом.)

4. Какие напряжения В ₁ , В ₂ и В ₃ в цепи ниже?

Ответы

1. Цикл по часовой стрелке, начиная с левого нижнего угла, дает:

$$- 3В — В + 7В = 0$$

Итак, V = 4 В. (Обратите внимание, что при зацикливании мы принимаем разность напряжений как положительную, если сначала встречаемся с клеммой «+», и как отрицательную, если сначала встречаем клемму «-».

2. Цикл по часовой стрелке, начиная с левого нижнего угла, дает:

$$+ 9В — 2В + В = 0$$

Итак, V = -7В. (Обратите внимание, что при зацикливании мы принимаем разность напряжений как положительную, если сначала встречаемся с клеммой «+», и как отрицательную, если сначала встречаем клемму «-».

3. Нет значения напряжения, удовлетворяющего этой схеме. Если вы примените KVL вокруг самого левого цикла, вы получите $3V + 1V — V = 0$, поэтому $V = 4V$. KVL вокруг самого правого цикла приводит к $V + 7V = 0$, поэтому $V = — 7V$. Две петли дают противоречивые результаты!

Корень проблемы в том, что данные напряжения несовместимы с законом напряжения Кирхгофа. Если мы применим KVL вокруг самого внешнего цикла, мы получим:

$$3В + 1В + 7В = 0$$

Что строго неверно.

4. Этот ответ подробно описан в нескольких различных ситуациях в схеме:

Нахождение V ₁ : КВЛ вокруг петли, показанной ниже, дает: ${V_1} + 1V + 7V — 3V = 0$, поэтому ${V_1} = — 5V$

Нахождение V ₂ : KVL вокруг петли, показанной ниже, дает: ${V_2} + 7V = 0$, поэтому ${V_2} = — 7V$

Нахождение V ₃ : KVL вокруг петли, показанной ниже, дает: ${V_3} — V3 = 0$, поэтому ${V_3} = 3V$

Важный момент

Вы можете проверить свои результаты, применяя КВЛ вокруг других петель в схеме. Например, цикл слева внизу дает: $3V{\rm{ + }}{V_2} + 7V — {V_3} = 0$. Подстановка значений V ₂ и V ₃, определенных выше, дает $3V + \left( { — 7V} \right) + 7V — {\rm{3}}V = 0$, что верно!

Аналогично, цикл слева внизу дает ${V_1} + 1V — {V_2} — 3V = 0$. Подстановка значений для V 9Определенные выше 0053 1 и V ₂ дают $\left( { — 5V} \right) + {V_1} — \left( { — 7V} \right) — 3V = 0$, что тоже верно!

Для большей практики попробуйте пройтись по всему внешнему циклу в качестве еще одной проверки.

учиться,
основы,
схемы,
квл,
kirchhoffs-voltage-law

Закон Кирхгофа о напряжении — справочник Digilent