Смещение затухающих колебаний: Кафедра физики Физико-механический институт СПбПУ

3. Затухающие колебания. Колебания. Физика. Курс лекций

3.1. Механические затухающие колебания

3.2. Электромагнитные затухающие колебания

3.3. Характеристики затухающих колебаний

Затуханием колебаний называется постепенное уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.

Собственные колебания без затухания – это идеализация. Причины затухания могут быть разные. В механической системе к затуханию колебаний приводит наличие трения. В электромагнитном контуре к уменьшению энергии колебаний приводят тепловые потери в проводниках, образующих систему. Когда израсходуется вся энергия, запасенная в колебательной системе, колебания прекратятся. Поэтому амплитуда затухающих колебаний уменьшается, пока не станет равной нулю.

Затухающие колебания, как и собственные, в системах, разных по своей природе, можно рассматривать с единой точки зрения – общих признаков. Однако, такие характеристики, как амплитуда и период, требуют переопределения, а другие – дополнения и уточнения по сравнению с такими же признаками для собственных незатухающих колебаний. Общие признаки и понятия затухающих колебаний следующие:

Дифференциальное уравнение должно быть получено с учетом убывания в процессе колебаний колебательной энергии.

Уравнение колебаний – решение дифференциального уравнения.

Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени.

Частота и период зависят от степени затухания колебаний.

Фаза и начальная фаза имеют тот же смысл, что и для незатухающих колебаний.

3.1. Механические затухающие колебания

Механическая система: пружинный маятник с учетом сил трения. Силы, действующие на маятник:

Упругая сила. , где k – коэффициент жесткости пружины, х – смещение маятника от положения равновесия.

Сила сопротивления. Рассмотрим силу сопротивления, пропорциональную скорости v движения (такая зависимость характерна для большого класса сил сопротивления): . Знак «минус» показывает, что направление силы сопротивления противоположно направлению скорости движения тела. Коэффициент сопротивления r численно равен силе сопротивления, возникающей при единичной скорости движения тела:

Закон движения пружинного маятника – это второй закон Ньютона: ma = F_упр. + F_сопр.

Учитывая, что и , запишем второй закон Ньютона в виде:

.

Разделив все члены уравнения на m, перенеся их все в правую часть, получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

Обозначим , где β – коэффициент затухания, , где ω₀ – частота незатухающих свободных колебаний в отсутствии потерь энергии в колебательной системе.

В новых обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид:

. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Уравнение затухающих колебаний есть решение такого дифференциального уравнения: .

В приложении 1 показано получение решения дифференциального уравнения затухающих колебаний методом замены переменных.

Частота затухающих колебаний:

(физический смысл имеет только вещественный корень, поэтому ).

Период затухающих колебаний: .

Смысл, который вкладывался в понятие периода для незатухающих колебаний, не подходит для затухающих колебаний, так как колебательная система никогда не возвращается в исходное состояние из-за потерь колебательной энергии. При наличии трения колебания идут медленнее: .

Периодом затухающих колебаний называется минимальный промежуток времени, за который система проходит дважды положение равновесия в одном направлении.

Для механической системы пружинного маятника имеем:

, . Амплитуда затухающих колебаний: , для пружинного маятника .

Амплитуда затухающих колебаний – величина не постоянная, а изменяющаяся со временем тем быстрее, чем больше коэффициент β. Поэтому определение для амплитуды, данное ранее для незатухающих свободных колебаний, для затухающих колебаний надо изменить.

При небольших затуханиях амплитудой затухающих колебаний называется наибольшее отклонение от положения равновесия за период.

Графики зависимости смещения от времени и амплитуды от времени представлены на Рисунках 3.1 и 3.2.

Рисунок 3.1 – Зависимость смещения от времени для затухающих колебаний

Рисунок 3.2 – Зависимости амплитуды от времени для затухающих колебаний

3.2. Электромагнитные затухающие колебания

Электромагнитные затухающие колебания возникают в электромагнитной колебательной систему, называемой LCR – контур (Рисунок 3. 3).

Рисунок 3.3.

Дифференциальное уравнение получим с помощью второго закона Кирхгофа для замкнутого LCR – контура: сумма падений напряжения на активном сопротивлении (R) и конденсаторе (С) равна ЭДС индукции, развиваемой в цепи контура:

Падение напряжения:

— на активном сопротивлении: , где I – сила тока в контуре;

— на конденсаторе (С): , где q – величина заряда на одной из обкладок конденсатора.

ЭДС, развиваемая в контуре – это ЭДС индукции, возникающая в катушке индуктивности при изменении тока в ней, а следовательно, и магнитного потока сквозь ее сечение: (закон Фарадея).

Подставим значения U_R, U_C, в уравнение, отражающее закон Кирхгофа, получим:

.

Сила тока определяется как производная от заряда , тогда , и дифференциальное уравнение примет вид:

.

Обозначим , , получим в этих обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний в виде:

Решение дифференциального уравнения или уравнение колебаний для заряда на обкладках конденсатора имеет вид:

или

.

Амплитуда затухающих колебаний заряда имеет вид:

, где .

Частота затухающих колебаний в LCR – контуре:

.

Период затухающих электромагнитных колебаний:

.

Возьмем уравнение для заряда в виде , тогда уравнение для напряжения на обкладках конденсатора можно записать так .

Величина называется амплитудой напряжения на конденсаторе.

Ток в контуре меняется со временем. Уравнение для силы тока в контуре можно получить, используя соотношение и векторную диаграмму.

Окончательное уравнение для силы тока таково:

,

где — начальная фаза.

Она не равна α, так как сила тока изменяется не по синусу, что дала бы производная от заряда, а по косинусу.

Энергия колебаний в контуре складывается из энергии электрического поля

и энергии магнитного поля

Полная энергия в любой момент времени:

где W₀ – полная энергия контура в момент времени t=0.

3.3. Характеристики затухающих колебаний

1. Коэффициент затухания β. Изменение амплитуды затухающих колебаний происходит по экспоненциальному закону: .

Пусть за время τ амплитуда колебаний уменьшится в «e » раз («е» – основание натурального логарифма, е ≈ 2,718). Тогда, с одной стороны, , а с другой стороны, расписав амплитуды А_зат. (t) и А_зат.(t+τ), имеем . Из этих соотношений следует βτ = 1, отсюда

.

Промежуток времени τ, за который амплитуда уменьшается в «е» раз, называется временем релаксации.

Коэффициент затухания β – величина, обратно пропорциональная времени релаксации.

2. Логарифмический декремент затухания δ — физическая величина, численно равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, отстоящих по времени на период .

Если затухание невелико, т.е. величина β мала, то амплитуда незначительно изменяется за период, и логарифмический декремент можно определить так:

,

где А_зат.(t) и А_зат.(t+NT) – амплитуды колебаний в момент времени е и через N периодов, т.е.в момент времени (t + NT).

3. Добротность Q колебательной системы – безразмерная физическая величина, равная произведению величины (2π) νа отношение энергии W(t) системы в произвольный момент времени к убыли энергии за один период затухающих колебаний:

. Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то .

При малых значениях логарифмического декремента δ добротность колебательной системы равна

,

где N_e – число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в «е» раз.

Так, добротность электромагнитной системы LCR – контура при малом затухании колебаний равна , а добротность пружинного маятника — .Чем больше добротность колебательной системы, тем меньше затухание, тем дольше будет длиться периодический процесс в такой системе.

4. При увеличении коэффициента β, частота затухающих колебаний уменьшает-ся, а период увеличивается. При ω₀ = β частота затухающих колебаний становится равной нулю ω_зат. = 0, а Т_зат. = ∞. При этом колебания теряют периодический характер и называются апериодическими.

При ω₀ = β параметры системы, ответственные за убывание колебательной энергии, принимают значения, называемые критическими. Для пружинного маятника условие ω₀ = β запишется так:, откуда найдем величину критического коэффициента сопротивления:

.

Для LCR – контура условие позволяет вычислить критическое сопротивление контура, при котором колебания потеряют свою периодичность:

.

15.5 Затухающие колебания | University Physics Volume 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Описывать движение затухающего гармонического движения
• Написать уравнения движения для затухающих гармонических колебаний
• Опишите движение ведомого или принудительного демпфированного гармонического движения
• Напишите уравнения движения для вынужденного, затухающего гармонического движения

В реальном мире колебания редко следуют истинному SHM. Какое-то трение обычно действует, чтобы ослабить движение, поэтому оно затухает или требует большей силы для продолжения. В этом разделе мы рассмотрим некоторые примеры затухает гармоническое движение и узнайте, как изменить уравнения движения, чтобы описать этот более общий случай.

Гитарная струна перестает колебаться через несколько секунд после того, как ее задернули. Чтобы продолжать качаться на детских качелях, вы должны продолжать толкать ((Рисунок)). Хотя мы часто можем сделать трение и другие неконсервативные силы малыми или пренебрежимо малыми, полностью незатухающие движения встречаются редко. На самом деле, мы можем даже захотеть демпфировать колебания, например, с помощью автомобильных амортизаторов.

Рисунок 15.24 Чтобы противодействовать демпфирующим силам, нужно продолжать качать качели. (кредит: Боб Микал)

(Рисунок) показывает массу m , прикрепленную к пружине с постоянной силой [латекс] k. [/latex] Массу поднимают в положение [латекс] {A}_{0} [/латекс], начальную амплитуду, а затем отпускают. Масса колеблется вокруг положения равновесия в жидкости с вязкостью, но амплитуда уменьшается для каждого колебания. Для системы с небольшим демпфированием период и частота постоянны и почти такие же, как для SHM, но амплитуда постепенно уменьшается, как показано. Это происходит потому, что неконсервативная демпфирующая сила забирает энергию из системы, обычно в виде тепловой энергии.

Рис. 15.25 Для груза на пружине, колеблющегося в вязкой жидкости, период остается постоянным, но амплитуды колебаний уменьшаются из-за демпфирования, вызванного жидкостью.

Рассмотрим силы, действующие на массу. Обратите внимание, что единственный вклад веса заключается в изменении положения равновесия, как обсуждалось ранее в этой главе. Следовательно, результирующая сила равна силе пружины и силе демпфирования [латекс] ({F}_{D}) [/латекс]. Если величина скорости мала, то есть масса колеблется медленно, демпфирующая сила пропорциональна скорости и действует против направления движения [латекс] ({F}_{D}=\text{−}bv) [ /латекс]. Таким образом, результирующая сила, действующая на массу, равна 9{2}}. [/latex]

Рис. 15.26 Положение в зависимости от времени для массы, колеблющейся на пружине в вязкой жидкости. Обратите внимание, что кривая выглядит как функция косинуса внутри экспоненциальной огибающей.

Вспомните, когда мы начали это описание затухающего гармонического движения, мы заявили, что затухание должно быть небольшим. На ум приходят два вопроса. Почему затухание должно быть маленьким? И насколько мала мала? Если вы постепенно увеличиваете величину демпфирования в системе, это начинает влиять на период и частоту, потому что демпфирование противодействует и, следовательно, замедляет возвратно-поступательное движение. (Чистая сила меньше в обоих направлениях.) Если демпфирование очень велико, система даже не колеблется — она медленно движется к равновесию. Угловая частота равна 9{2}} [/latex] — комплексное число.

(рисунок) показывает смещение гармонического осциллятора для различной степени демпфирования. Когда константа затухания мала, [латекс] b<\sqrt{4mk} [/латекс], система колеблется, а амплитуда движения затухает экспоненциально. Эта система называется недодемпфированной , как на кривой (а). Многие системы недостаточно демпфированы и колеблются, в то время как амплитуда уменьшается экспоненциально, например, масса, колеблющаяся на пружине. Затухание может быть довольно небольшим, но в конце концов масса останавливается. Если константа демпфирования равна [латекс] b=\sqrt{4mk} [/латекс], система называется критически затухает , как на кривой (b). Примером системы с критическим демпфированием являются амортизаторы в автомобиле. Желательно, чтобы колебания затухали как можно быстрее. Здесь система не колеблется, а асимптотически приближается к равновесию как можно быстрее. Кривая (c) на (рисунке) представляет систему с избыточным демпфированием , где [латекс] b>\sqrt{4mk}. [/latex] Система с избыточным демпфированием будет приближаться к равновесию в течение более длительного периода времени.

Рис. 15.27 Положение в зависимости от времени для трех систем, состоящих из груза и пружины в вязкой жидкости. (a) Если демпфирование мало [латекс] (b<\sqrt{4mk}) [/латекс], масса колеблется, медленно теряя амплитуду по мере того, как энергия рассеивается неконсервативной силой (силами). Предельным случаем является (b), где демпфирование равно [латекс] (b=\sqrt{4mk}) [/латекс]. (c) Если демпфирование очень велико [латекс] (b>\sqrt{4mk}) [/латекс], масса не колеблется при смещении, а пытается вернуться в положение равновесия.

Часто требуется критическое демпфирование, поскольку такая система быстро возвращается к равновесию и также остается в равновесии. Кроме того, постоянная сила, приложенная к системе с критическим демпфированием, перемещает систему в новое положение равновесия за кратчайшее возможное время без перерегулирования или колебаний вокруг нового положения.

Проверьте свое понимание

Почему полностью незатухающие гармонические осцилляторы так редки?

Показать решение

Сводка

• Затухающие гармонические осцилляторы имеют неконсервативные силы, рассеивающие их энергию.
• Критическое демпфирование возвращает систему в состояние равновесия как можно быстрее без перерегулирования.
• Система с недостаточным демпфированием будет колебаться через положение равновесия.
• Система с чрезмерным демпфированием движется к равновесию медленнее, чем система с критическим демпфированием.

Концептуальные вопросы

Приведите пример гармонического генератора с затуханием. (Они более распространены, чем незатухающие или простые гармонические генераторы.)

Показать решение

Как автомобиль будет подпрыгивать после удара в каждом из этих условий?

(a) избыточное демпфирование

(b) недостаточное демпфирование

(c) критическое демпфирование

Большинство гармонических осцилляторов демпфируются и, если не возбуждаются, в конце концов останавливаются. Почему?

Показать решение

Задачи

Амплитуда слабозатухающего осциллятора уменьшается на [латекс] 3,0% [/латекс] в течение каждого цикла. Какой процент механической энергии осциллятора теряется в каждом цикле?

Показать решение

Глоссарий

с критическим демпфированием

состояние, при котором демпфирование осциллятора заставляет его как можно быстрее вернуться в положение равновесия без колебаний вперед и назад вокруг этого положения

собственная угловая частота

угловая частота системы, колеблющейся в ШМ

сверхдемпфированный

состояние, при котором затухание осциллятора заставляет его вернуться в состояние равновесия без колебаний; осциллятор движется к равновесию медленнее, чем в системе с критическим демпфированием

с недостаточным демпфированием

состояние, при котором демпфирование осциллятора приводит к тому, что амплитуда колебаний затухающего гармонического осциллятора со временем уменьшается, в конечном итоге приближаясь к нулю

15.

6: Затухающие колебания — Физика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

• Описать движение затухающего гармонического движения
• Написать уравнения движения для затухающих гармонических колебаний
• Опишите движение ведомого или принудительного демпфированного гармонического движения
• Напишите уравнения движения для вынужденного, затухающего гармонического движения

В реальном мире колебания редко следуют истинному SHM. Какое-то трение обычно действует, чтобы ослабить движение, поэтому оно затухает или требует большей силы для продолжения. В этом разделе мы рассмотрим некоторые примеры затухающего гармонического движения и посмотрим, как изменить уравнения движения, чтобы описать этот более общий случай.

Гитарная струна перестает колебаться через несколько секунд после того, как ее задернули. Чтобы продолжать качаться на детских качелях, вы должны продолжать толкать их (рис. \(\PageIndex{1}\)). Хотя мы часто можем сделать трение и другие неконсервативные силы малыми или пренебрежимо малыми, полностью незатухающие движения встречаются редко. На самом деле, мы можем даже захотеть демпфировать колебания, например, с помощью автомобильных амортизаторов.

Рисунок \(\PageIndex{1}\): Чтобы противодействовать демпфирующим силам, вам нужно продолжать качать качели. (кредит: Боб Микал)

На рисунке \(\PageIndex{2}\) показана масса m, прикрепленная к пружине с постоянной силы k. Массу поднимают до положения A ₀ , начальной амплитуды, а затем отпускают. Масса колеблется вокруг положения равновесия в жидкости с вязкостью, но амплитуда уменьшается для каждого колебания. Для системы с небольшим демпфированием период и частота постоянны и почти такие же, как для SHM, но амплитуда постепенно уменьшается, как показано. Это происходит потому, что неконсервативная демпфирующая сила забирает энергию из системы, обычно в виде тепловой энергии.

Рисунок \(\PageIndex{2}\): Для груза на пружине, колеблющегося в вязкой жидкости, период остается постоянным, но амплитуды колебаний уменьшаются из-за демпфирования, вызванного жидкостью.

Рассмотрим силы, действующие на массу. Обратите внимание, что единственный вклад веса заключается в изменении положения равновесия, как обсуждалось ранее в этой главе. Следовательно, результирующая сила равна силе пружины и силе демпфирования (\(F_D\)). Если величина скорости мала, то есть масса колеблется медленно, демпфирующая сила пропорциональна скорости и действует против направления движения (\(F_D = −b\)). Таким образом, результирующая сила, действующая на массу, равна 9{2}} \ldotp \label{15.26}\]

Рисунок \(\PageIndex{3}\): Положение тела, колеблющегося на пружине в вязкой жидкости, в зависимости от времени. Обратите внимание, что кривая выглядит как функция косинуса внутри экспоненциальной огибающей.

Вспомните, когда мы начали это описание затухающего гармонического движения, мы заявили, что затухание должно быть небольшим. На ум приходят два вопроса. Почему затухание должно быть маленьким? И насколько мала мала? Если вы постепенно увеличиваете величину демпфирования в системе, это начинает влиять на период и частоту, потому что демпфирование противодействует и, следовательно, замедляет возвратно-поступательное движение. (Чистая сила меньше в обоих направлениях.) Если демпфирование очень велико, система даже не колеблется — она медленно движется к равновесию. Угловая частота равна 9{2}}\) — комплексное число.

Рисунок \(\PageIndex{4}\): Положение в зависимости от времени для трех систем, состоящих из груза и пружины в вязкой жидкости. (а) Если затухание мало (b < \(\sqrt{4mk}\)), масса колеблется, медленно теряя амплитуду по мере рассеивания энергии неконсервативной силой (силами). Предельным случаем является (b), где демпфирование (b = \(\sqrt{4mk}\)). (c) Если демпфирование очень велико (b > \(\sqrt{4mk}\)), масса при перемещении не колеблется, а пытается вернуться в положение равновесия.

На рисунке \(\PageIndex{4}\) показано смещение гармонического осциллятора при различной степени затухания.

1. Когда константа демпфирования мала, b < \(\sqrt{4mk}\), система колеблется, а амплитуда движения затухает экспоненциально. Эта система называется недодемпфированной , как на кривой (а). Многие системы недостаточно демпфированы и колеблются, в то время как амплитуда уменьшается экспоненциально, например, масса, колеблющаяся на пружине. Затухание может быть довольно небольшим, но в конце концов масса останавливается.
2. Если константа затухания равна \(b = \sqrt{4mk}\), система называется критически затухающей , как на кривой (\(b\)). Примером системы с критическим демпфированием являются амортизаторы в автомобиле. Желательно, чтобы колебания затухали как можно быстрее. Здесь система не колеблется, а асимптотически приближается к равновесию как можно быстрее.
3. Кривая (c) на рисунке \(\PageIndex{4}\) представляет систему с передемпфированием , где \(b > \sqrt{4mk}\). Система с избыточным демпфированием будет приближаться к равновесию в течение более длительного периода времени.

Часто требуется критическое демпфирование, поскольку такая система быстро возвращается к равновесию и также остается в равновесии. Кроме того, постоянная сила, приложенная к системе с критическим демпфированием, перемещает систему в новое положение равновесия за кратчайшее возможное время без перерегулирования или колебаний вокруг нового положения.

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Почему полностью незатухающие гармонические осцилляторы так редки?

Эта страница под названием 15.6: Damped Oscillations распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или страница

   Автор

   ОпенСтакс

   Лицензия

   СС BY

   Версия лицензии

   4,0

   Программа OER или Publisher

   ОпенСтакс

   Показать оглавление

   нет

2. Метки

   1. с критическим демпфированием
   2. собственная угловая частота
   3. сверхдемпфированный
   4. источник@https://openstax.