Прямолинейный проводник длиной 20 см по которому течет ток 3 а: Прямолинейный проводник длиной 20 см ,по которому течет ток силой 3А,находится в однородном магнитном поле…

1. Проводник длиной 2 м в форме квадрата расположен в магнитном по­ле с индукцией 2 Тл. Определить момент сил, действующих на провод­ник, если по нему течет то

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ 1. Проводник длиной 2 м в форме квадрата расположен в магнитном по­ле с индукцией 2 Тл. Определить момент сил, действующих на провод­ник, если по нему течет ток 4 А, а силовые линии магнитного поля па­раллельны плоскости квадрата. Ответ: М = 2 Н.м. 2. Горизонтальные рельсы находятся на расстоянии 0,5 м друг от друга. На рельсах лежит проводящий стержень массой 1 кг, перпендикулярный рельсам. Рельсы и стержень находятся в магнитном поле, силовые линии которого направлены вертикально и магнитная индукция равна 0,5 Тл. При пропускании по стержню тока 2 А он движется по рельсам с ускорением 0,1 м/с2. Определить коэффициент трения между стержнем и рельсами. Ответ: µ = 0,04. 3. Проводник длиной 20 см и массой 5 г подвешен горизонтально на двух нитях в однородном магнитном поле. (Вектор маг­нитной индукции направлен к нам.) Какой величины ток надо про­пустить по проводнику, чтобы нити разорвались, если каждая из них вы­держивает нагрузку до 0,04 Н? Индукция магнитного поля равна 0,5 Тл. Ответ: I ≥ 0,3 А 4. Электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов 1000 В, влетает в однородное магнитное поле с индукцией 10-2 Тл перпендику­лярно силовым линиям. Определить радиус окружности, описываемой электроном. Ответ: R= 0,01 м. 5. Электрон влетает в однородное магнитное поле со скоростью 106м/с под углом 30° к вектору магнитной индукции. Найти радиус и шаг вин­товой линии, по которой будет двигаться электрон, если индукция маг­нитного поля равна 10-3 Тл. Ответ: R = 2,84 мм; h = 3,1 см. 6. Виток площадью 2 см расположен перпендикулярно к силовым лини­ям однородного магнитного поля. Чему равна индуцируемая в витке э.д.с, если за время 0,05 с магнитная индукция равномерно убывает с 0,5 до 0,1 Тл? Ответ: е = 1,6. 103 В. 7. В однородном магнитном поле с индукцией 6.10-2 Тл находится со­леноид диаметром 8 см, имеющий 80 витков. Соленоид поворачивают на угол 180° за время 0,2 с так, что его ось остается направленной вдоль поля. Определить значение электродвижущей силы, возникающей в со­леноиде. Ответ: ε= 0,24 В. 8. Определить э.д.с. самоиндукции, возникающую в контуре, при уменьшении силы тока с 3 до 1 А за 0,01 с, если при силе тока в 4 А магнитный поток через поверхность, ограниченную этим контуром, ра­вен 6.10-3Вб. 9. Энергия магнитного поля катушки, по которой течет постоянный ток, равна 3 Дж. Магнитный поток через катушку равен 0,5 Вб. Найти силу тока. Ответ: I = 12 А. 10.Чему равен максимальный вращающий момент сил, действующих на прямоугольную обмотку электродвигателя, содержащую 100 витков про­вода размером 4 см х 6 см, по которой проходит ток силой 10 А, в маг­нитном поле с индукцией 1,2 Тл? Ответ: 2,88 Н м. 11. Найти момент пары сил, действующий на рамку, по которой течет ток 5 А, если длина рамки 20 см, ширина 10 см, а магнитная индукция по­ля 0,2 Тл. Ответ: 0,02 Нм. 12. На провод обмотки якоря электродвигателя при токе 20 А действует си­ла 1,0 Н. Определите магнитную индукцию в месте расположения прово­да, если длина провода 20 см. Ответ: 0,25 Тл. 13. Определите наибольшее и наименьшее значения силы, действующей на проводник длиной 0,60 м с током 10 А, при различных положениях про­водника в однородном магнитном поле, индукция которого равна 1,5 Тл. Ответ: 0; 9 Н. 14. По горизонтально расположенному проводнику длиной 20 см и массой 4 г течет ток силой 10 А. Найти индукцию магнитного поля, в которое нужно поместить проводник, чтобы сила тяжести уравновесилась силой Ампера. Ответ: 20 мТл. 15. На прямой проводник длиной 0,5 м, расположенный перпендикулярно магнитному полю с индукцией 2.10-2 Тл, действует сила 0,15 Н. Найти силу тока, протекающего по проводнику. Ответ: 15 А. 16. Прямолинейный проводник, по которому протекает ток силой 10 А, по­мещен в однородное магнитное поле, индукция которого равна 0,3 Тл. Угол между направлением тока и вектором магнитной индукции равен 30°. С какой силой действует магнитное поле на участок проводника дли­ной 0,4 м? Ответ: 0,6 Н. 17. Проводник длиной 0,2 м и массой 1 кг подвешен горизонтально на двух вертикальных пружинах. В окружающем проводник пространстве создается магнитное поле с индукцией 1 Тл, перпендикулярной проводнику. Определить силу тока, проходящего через проводник, при которой он не бу­дет растягивать пружины. Ответ: 49 А. 18. В проводнике с длиной активной части 8 см сила тока равна 50 А. Он находится в однородном магнитном поле с индукцией 20 мТл. Найти со­вершенную работу, если проводник переместился на 10 см перпендику­лярно силовым линиям. Ответ: 8 мДж. 19. В однородном магнитном поле, индукция которого равна 2 Тл и на­правлена под углом 30° к вертикали, вертикально вверх движется прямой проводник массой 2 кг, по которому течет ток силой 4 А. Через 3 с после начала движения проводник имеет скорость 10 м/с. Определить длину проводника. Ответ: 6,55 м. 20. Электрон движется в вакууме в однородном магнитном поле (его ин­дукция 5.10-3 Тл) со скоростью 10.103 км/с перпендикулярно к линиям индукции. Определите силу, действующую на электрон, и радиус окруж­ности, по которой он движется. Ответ: 8.10-15Н: 10-2 м. 21. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 4 мТл. Найти период обращения электрона. Ответ: 8,9 нс. 22. Электрон начинает двигаться в электрическом поле из состояния покоя, и, пройдя разность потенциалов 220 В, попадает в однородное магнитное поле с индукцией 5.10-3 Тл, где он движется по круговой траектории ра­диусом 1.10-2 м. Определите массу электрона. Ответ: 9,1.10 -31кг 23. Протон и электрон, ускоренные одинаковой разностью потенциалов, влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус кривизны траектории протона R1, больше радиуса кривизны траектории электро­на R2? Ответ: в 42,9 раза. 24. Протон и α-частица влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям. Сравните радиусы окружностей, которые описывают частицы, если у них одинаковы: а) скорости; б) энергии. Ответ: а) Rа/1R =2; б) Rа = Rр . 25. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов 600 В, влета­ет в однородное магнитное поле с магнитной индукцией 0,30 Тл и движет­ся по окружности. Найти радиус окружности. Будет ли изменяться энергия протона при движении в этом магнитном поле? Ответ 12 мм; нет. 26. Заряженная частица движется в магнитном поле по окружности со ско­ростью 106 м/с. Индукция магнитного поля равна 0,3 Тл, радиус окружно­сти 4 см. Найти заряд частицы, если известно, что ее энергия равна 12 кэВ. Ответ: 3,2.10-19Кл. 27. Протон и α-частица влетают в однородное магнитное поле. Скорость частиц направлена перпендикулярно силовым линиям поля. Во сколько раз период обращения протона в магнитном поле больше периода обращения α-частицы? Ответ: в 2 раза. 28. Однородные поля (электрическое и магнитное) расположены взаимно перпендикулярно. Напряженность электрического поля 1 кВ/м, а индукция магнитного поля 1 мТл. Какими должны быть направление и величина скорости электрона, чтобы траектория его движения оказалась прямоли­нейной? Ответ: 10-6 м/с. 29. Катушка диаметром 10 см, имеющая 500 витков, находится в магнит­ном поле. Чему будет равно среднее значение э.д.с. индукции в этой катушке, если индукция магнитного поля увеличивается в течение 0,1 с с 0 до 2 Вб/м2? Ответ: 78,5 В. 30. Круговой контур радиусом 2 см помещен в однородное магнитное по­ле, индукция которого 0,2 Вб/м2. Плоскость контура перпендикулярна на­правлению магнитного поля, сопротивление контура 1 Ом. Какое количество электричества протечет через катушку при повороте ее на 90°? Ответ: 2,5.10-4 Кл. 31. Магнитный поток, пронизывающий контур проводника, равномерно изменился на 0,6 Вб так, что э.д.с. индукции оказалась равной 1,2 В. Най­ти время изменения магнитного потока. Найти силу индукционного тока, если сопротивление проводника 0,24 Ом. Ответ: 0,5 с; 5 А. 32. Квадратная рамка помещена в однородное магнитное поле. Нормаль к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол 60°. Сторона рамки 10 см. Определите индукцию магнитного поля, если известно, что среднее значение э.д.с. индукции, возникшей в рамке при вы­ключении поля в течение 0,01 с, равно 50 мВ. Ответ: 0,1 Тл. 33. Какой магнитный поток пронизывал каждый виток катушки, имеющей 1000 витков, если при равномерном исчезновении магнитного поля в те­чение промежутка времени 0,1 с в катушке индуцируется э. д.с. 10 В? Ответ: 10-3 Вб. 34. Проволочный виток, имеющий площадь 100 см2, разрезан в некоторой точке, и в разрез включен конденсатор емкостью 10 мкФ. Виток помещен в однородное магнитное поле, силовые линии которого перпендикулярны плоскости витка. Магнитное поле равномерно изменяется во времени со скоростью 5 Тл/с. Определите заряд конденсатора. Ответ: 5.10-7 Кл. 35. Если сила тока, проходящего в соленоиде, изменяется на 50 А в секун­ду, то на концах обмотки соленоида возникает э.д.с, самоиндукции 0,08 В. Определите индуктивность соленоида. Ответ: 1,6 мГн. 36. Определите скорость изменения тока в катушке с индуктивностью 100 мГн, если в ней возникла э.д.с. самоиндукции 80 В. Ответ: 800 А/с. 37. В катушке сопротивлением 5 Ом течет ток 17 А. Индуктивность ка­тушки 50 мГн. Каким будет напряжение на зажимах катушки, если ток в ней равномерно возрастает со скоростью 1000 А/с? Ответ: 135 В. 38. С какой скоростью надо перемещать проводник, длина активной части которого 1 м, под углом 60° к линиям индукции магнитного поля, чтобы в проводнике возбуждалась э.д.с. индукции 1 В? Индукция магнитного поля равна 0,2 Тл. Ответ: 5,8 м/с. 39. В однородном магнитном поле, индукция которого 0,1 Тл, движется проводник длиною 10 см. Скорость движения проводника 15 м/с, и на­правлена она перпендикулярно магнитному полю. Чему равна индуциро­ванная в проводнике э.д.с? Ответ: 0,15 В. 40. Ток в катушке уменьшился с 12 до 8 А. При этом энергия магнитного поля катушки уменьшилась на 2,0 Дж. Какова индуктивность катушки и энергия ее магнитного поля в обоих случаях? Ответ: 0,25 Гн; 18 Дж; 8 Дж. 41. Плоская проволочная рамка, состоящая из одного витка, имеющего со­противление 0,001 Ом и площадь 1 см2, пронизывается магнитным одно­родным полем. Направление силовых линий поля перпендикулярно к плоскости рамки. Индукция магнитного поля изменяется с течением вре­мени равномерно на величину 0,01 Тл/м за 1 с. Какое количество тепло­ ты выделяется в рамке за 1 с? Ответ: 2,1.10-9 Дж. 42. Определите индуктивность соленоида, в котором при равномерном из­менении силы тока на 4 А энергия магнитного поля изменяется на 0,1 Дж. Средняя сила тока в катушке 10 А. Ответ: 2,5.10-3 Гн. 43. По цилиндрической катушке, имеющей 120 витков, течет ток 10 А. При этом магнитный поток через один виток равен 0,005 Вб. Определите энергию магнитного поля в катушке. Ответ: 3 Дж.

Электричество и магнетизм. Пособие по решению задач

41

РАЗДЕЛ 2. МАГНЕТИЗМ. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Тема 2.1. Магнитное поле проводников с током. Закон Ампера.

Примеры решения задач

Задача 1. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного прямого провода длиной l= 40 см, в точке, удаленной от концов отрезка на расстояния l1= 50 см и l2= 30 см. Сила тока I, текущего по проводу, равна 50 А.

Решение

Геометрия задачи показана на рисунке. Согласно закону Био-Савара- Лапласа, индукция магнитного поля dB, создаваемого отрезком провода с током I длиной dl в точке, находящейся на расстоянии r от этого отрезка, определяется выражением:

dB =	0	dlr	I		,
	4		r	3

где dl — вектор, равный по модулю длине отрезка dl и совпадающий по направлению с током, r — радиус-вектор, проведенный от элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция, — магнитная проницаемость,0 — магнитная постоянная.

Для модуля вектора магнитной индукции имеем выражение:

dB=	0	I sin	dl ,	(1)
	4	r 2

где — угол между векторами dl и r. Из условия задачи следует, что провод находится в немагнитной среде (в воздухе) и, следовательно, =1.

Пусть элемент проводника dl виден из точки А под углом d , а расстоя-

42

ние от точки А до провода равно r0. Из рисунка следует, что

dl r	d			r0
		,	r =		.
	sin			sin

Подставляя эти выражения в формулу (1), получим:

dB= 0I sin d . 4 r0

Чтобы определить магнитную индукцию поля, создаваемого отрезком проводника, проинтегрируем полученное выражение по углу в пределах от 1 до 2 .

2

0

I sin

0

I

2

B =

d =

sin d .

4 r

4 r

1

0

0

1

После интегрирования, получаем:

B =

0I

(cos 1 cos 2 ) .

(2)

4 r0

Из условия задачи следует,

что l2

l2

+ l2

(это видно из численных

1

2

условий задачи: 2500=1600+900), то есть 2

= 900

, cos 2

0, r0= l2=30 см,

cos 1 45

Подставляя численные значения, получим B= 13,3 мкТл.

Ответ: B= 13,3 мкТл.

Задача 2. Бесконечно длинный тонкий проводник изогнут по дуге окружности на 1800 (см. рисунок). Радиус изгиба R= 10 см. По проводнику течет ток I= 50 А. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого этим током, в точке «О».

Решение

Разделим проводник на три части: два прямолинейных проводника 1 и 2,

уходящих одним концом в бесконечность, и дугу полуокружности 3 радиуса R.
			I	1	На основе принципа суперпозиции магнитных полей
					вектор магнитной индукции в точке «О» будет равен
	R
					векторной сумме магнитных полей, создаваемых эти-
		O
3					ми отрезками проводника:
				2
					B = B1 + B2 +B3 .

Используя правило буравчика, найдем, что вектор магнитной индукции, создаваемый каждым из выделенных участков про-

43

водника, направлен перпендикулярно к плоскости чертежа на нас. В связи с этим, мы можем заменить векторную сумму алгебраической:

B = B1 + B2 + B3 .

Магнитная индукция поля в центре кругового витка равна:

B= 0I/2R.

Так как участок проводника 3 является дугой полуокружности, то создаваемое им в точке «О» поле будет в два раза меньше поля в центре кругового витка,

т.е. B3= 0I/4R .

Ток, протекающий по каждому элементу проводника 2, приводит к возникновению в точке «О» магнитного поля. Из рисунка следует, что для каждого элемента проводника 2 найдется элемент проводника 1, создающий в точке «О» такое же значение индукции магнитного поля. Это означает, что значения магнитной индукции в точке «О», создаваемые участками проводника 1 и 2, равны между собой, то есть B1 = B2.

Для нахождения величины B1 воспользуемся формулой (2) из предыдущей задачи

B = 0I (cos 1 cos 2 ) . 4 r0

В нашем случае r0=R, 1 0 , 2 2 и B1 0I 4 R . В результате имеем

B = B1 + B2 + B3 = 2B1 + B3 = 0I 2 R 0I 4R = 0I (2 + ) 4 R

Подставляя численные значения, получаем B= 257 мкТл. Ответ: B= 257 мкТл.

Задача 3. Проводник длиной l=0,2 м и массой 5 г расположен горизонтально в однородном магнитном поле, вектор индукции которого перпендикулярен полю. Индукция поля равна B=0,4 Тл. Какой ток нужно пропустить по проводнику, чтобы он свободно висел в этом поле?

Решение

На проводник действуют две силы: сила тяжести P, направленная вниз, и сила Ампера F, которая должна быть направлена вверх. Если проводник находится в равновесии, то эти силы равны друг другу, то есть P=F. Сила тяжести равна P=mg, где m — масса проводника, g — ускорение свободного падения. Сила Ампера, действующая на проводник с током, равна F=IBlsin , где — угол между направлением тока и направлением вектора магнитной индукции. Из условия задачи следует, что = 900 и sin = 1. Следовательно, mg=IBl, откуда

44

I=mg/Bl, I=0,005 9,8/(0,4 0,2)=0,6 А.

Ответ: I=0,6 А.

Задача 4. Напряженность H магнитного поля в центре кругового витка равна 200 А/м. Магнитный момент pm витка равен 1 А/м2. Вычислить силу тока I в витке и радиус R витка.

Решение

Магнитная индукция B и напряженность магнитного поля H связаны со-

отношением B= 0H . В центре кругового витка B(0) = 0I , и, соответствен-

2R

но, H (0) = 2IR , откуда I= 2RH. Модуль вектора магнитного момента находим по формуле pm= I S, где S — площадь витка. Подставляя в это выражение значе-

2

3

pm

ния I и S, получаем: pm=I πR =2πHR , откуда сразу следует,

что

R = 3

и

2 H

I = 2H

3

pm

. Подставляя численные значения, получим,

что

R= 9,27 см,

2 H

I= 37 А.

Ответ: R= 9,27 см, I= 37 А.

Задача 5. На прямой проводник длины L= 0,5 м, расположенный перпендикулярно к линиям индукции магнитного поля, действует сила F= 0,15 Н. Найти ток I, протекающий в проводнике, если магнитная индукция равна

B= 20 мТл.

Решение

Силу, действующую на прямой длинный проводник с током, находящийся в магнитном поле с индукцией B, можно вычислить по формуле F=IBLsin , где -угол между направлением вектора магнитной индукции и направлением тока в проводнике. Из условия задачи следует, что =900, следовательно, sin = 1 и F=IBL. Откуда получаем I=F/BL. Подставляя численные значения, находим

I		0,15	15A .
		10 30,5
20

Ответ: I= 15 A.

45

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 6. Найти силу взаимодействия между двумя параллельными проводами длиной l= 1 м, находящимися на расстоянии d= 50 см друг от друга, если по ним протекают в противоположных направлениях равные токи

I1= I2= 500 А. (Ответ: F = 0,1 Н.)

Задача 7. По трем параллельным прямым проводам, находящимся на расстоянии a= 10 см друг от друга, текут одинаковые токи силой I=100 А. В двух проводах направления токов совпадают. Вычислить силу F, действующую на отрезок каждого провода длиной l= 1 м. (Ответ: F1=F2=20 мН, F3= 34,6 мН. )

Задача 8. Из проволоки длиной l= 20 см сделаны квадратный и круговой контуры. Найти вращающие моменты сил M1 и M2, действующих на каждый контур, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией B= 0,1 Тл. По контурам течет ток силой 2 А. Плоскость каждого контура составляет угол= 450 с направлением поля. (Ответ: M1=3,53 10-4 н м, M2 =4,5 10-4 н м.)

Задача 9. При какой силе тока I, текущего по тонкому проволочному кольцу радиусом R= 0,2 м, магнитная индукция B в точке, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r= 0,3 м, станет равной 20 мкТл? (Ответ:

I= 21,5 А.)

Задача 10. Прямой проводник АС длиной 20 см и массой 5 г подвешен горизонтально (см. рисунок) на двух легких нитях ОА и ОС в однородном магнитном поле, вектор индукции которого направлен перпендикулярно проводнику.

Индукция поля равна 0,049 Тл. Какой величины ток нужно пропустить по проводнику, чтобы одна из нитей разорвалась? Каждая нить выдерживает нагрузку не более 0,039 Н. (Ответ: I>3 А. )

Задача 11. Два взаимно перпендикулярных длинных провода, по которым текут равные токи силой I=10 А, находятся на рассто-

янии 2 см друг от друга, как показано на рисунке. Найти величину вектора индукции магнитного поля B в точке «О», находящейся на равном расстоянии от каждого из проводов. (Ответ: B= 0,28 мТл.)

Задача 12. По тонкому проволочному кольцу течет ток. Не изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Во сколько раз изменилась магнитная индукция в центре контура? (Ответ: в 1,15 раза.)

				46
Задача 13. Длинный тонкий проводник с током							I
I=100 A изогнут по дуге на 90 градусов, как показано на
рисунке.	Радиус	кривизны	в	месте	изгиба	равен	R
R= 10 см. Определить индукцию магнитного поля в точ-
ке «O», создаваемую этим током. (Ответ: B= 353 мкТл.)							O
Задача 14.		По прямому		бесконечно длинному
проводнику течет ток силой I=50 А. Определить маг-
нитную индукцию B в точке, удаленной на расстояние R= 5 см							от проводника.
(Ответ: B= 200 мкТл.)
Задача 15. Определить магнитную индукцию в
центре петли радиуса R=10 см, образованной беско-
нечным тонким проводником с током. Форма петли
изображена на рисунке. Ток в проводе I= 100 А. (От-
вет: B=428 мкТл.)

Тема 2.2. Закон полного тока. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

Примеры решения задач Задача 1. Вычислить циркуляцию вектора индукции вдоль контура, охва-

тывающего токи I1=10 A и I2=15 A, текущие в одном направлении, и ток I3=20 A, текущий в противоположном направлении.

Решение

Согласно закону полного тока, циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов Ii, охватываемых контуром, то есть

n

Bl dl = 0 Ii .

По условию задачи один из токов имеет направление, противоположное двум другим. В соответствии с этим можно записать:

Bl dl = 0 (I1 + I2 — I3 )= 4 10-7 (10 +15 — 20) = 6,28 мкТл м.

L

Ответ: Bl dl = 6,28 мкТл м.

L

Задача 2. Какую работу надо затратить на перемещение проводника длиной l=0,4 м с током 21 А в однородном магнитном поле с индукцией 1,2 Тл на

47

расстояние d= 0,25 м? Проводник движется перпендикулярно к силовым линиям поля.

Решение

Площадь, пересекаемая проводником при его движении перпендикулярно силовым линиям магнитного поля, будет равна S= ld. Магнитный поток через поверхность, пересекаемую проводником, будет равен =BS. Тогда работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна

A= I = IBld=21×1,2×0,4×0,25= 2,52 Дж.

Ответ: A= 2,52 Дж.

Задача 3. Квадратная рамка со стороной a=2 см, по которой протекает ток силой I=8 А, находится в неоднородном магнитном поле, изменяющемся в пространстве по закону Bz= kx, где k= 2 Тл/м, Bу=Bx=0. Плоскость рамки перпендикулярна линиям индукции поля. Одна из сторон рамки совпадает с осью y, вторая — с осью x, вершина рамки находится в начале координат. Какую работу нужно совершить, чтобы медленно повернуть рамку вокруг оси y таким образом, чтобы силовые линии поля лежали в плоскости рамки?

Решение

При медленном повороте рамки в магнитном поле индукционными токами можно пренебречь и считать ток в контуре неизменным. Работа по перемещению рамки с током в магнитном поле может быть найдена из соотношения A=I , где это изменение магнитного потока. Так как по условию задачи в конечном положении плоскость рамки параллельна силовым линиям поля, то магнитный поток в конечном положении рамки равен нулю. Следовательно, изменение магнитного потока будет равно его первоначальному значению, при котором ориентация рамки перпендикулярна силовым линиям поля, то есть

0

Для вычисления магнитного потока 0 разделим плоскость рамки на уз-

кие полоски шириной dx, параллельные оси y (см. рису-	x
нок). Площадь каждой полоски будет равна ds=a dx. Маг-
	dx
нитный поток через одну из таких полосок, находящуюся				y
на расстоянии x от оси y, будет равен
d = Bz(x) ds=kxa dx.

Интегрируя, находим полный поток магнитной индукции через площадь рамки

			48
		a		ka3
	0	kxa dx			.
		0	2

Окончательно имеем

A = I = I 0 = Ika3/2.

Подставляя численные значения, получим A=64 мкДж.

Ответ: A=64 мкДж.

Задача 4. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на расстоянии d1= 10 см друг от друга. По проводникам в одном направлении текут токи I1= 30 А и I2= 20 А. Какую работу A1 нужно совершить (на единицу длины проводников), чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния d2= 20 см?

Решение

Каждый из проводников находится в магнитном поле, создаваемом другим проводником. Работа A, которую нужно совершить, чтобы переместить проводник с током I1 и длиной l параллельно самому себе в плоскости, прохо-

	дящей через оба проводника,		будет равна: A=I1 где		— пересекаемый
	этим проводом магнитный поток.
	Заметим, что движение этого провода происходит в магнитном поле, со-
	здаваемом током I2. Значение магнитной индукция B,				d1	dx	d2
	создаваемой длинным прямым проводом, определя-
	ется выражением
		0I		I2	I1
	B(x) =			,
		2 x

где x — расстояние от провода до точки наблюдения.

Для определения величины воспользуемся рисунком и рассмотрим слой толщиной dx и длиной l, находящийся на расстоянии x от провода с током I2. Магнитный поток d , пронизывающий этот слой, будет равен: d =B(x)ds, где ds=ldx — площадь слоя. Подставляя сюда выражение для магнитной индукции B(x), получаем

d = 0I2 ldx . 2 x

Интегрируя это соотношение в пределах от d1 до d2, находим

49

d2		0	I	2	l			0	I	2	l		d	2
						dx =						ln			.
	2 x						2						d
d1														1

Так как по условию задачи требуется определить работу A1 по перемещению единицы длины проводника, то есть A1=A/l, тогда для работы A1 получаем выражение

A1 = 0I1I2 ln d2 . 2 d1

Подставляя числовые значения, находим A1= 83 мкДж/м.

Ответ: A1= 83 мкДж/м.

Задача 5. Круглый плоский виток радиусом R= 10 см, по которому течет ток I= 100 А, находится в однородном магнитном поле с индукцией B= 0,2 Тл. Плоскость витка составляет угол = 300 с направлением магнитного поля. Определить работу A, которую необходимо затратить, чтобы удалить виток за пределы поля.

Решение

Положение витка в области магнитного поля изображено на рисунке. Работа по перемещению проводника с током I в магнитном поле определяется

	выражением A=I , где пересекаемый проводом
	магнитный поток.		B
	Так как виток удаляется за пределы поля, то
			n

0 где 0 — магнитный поток, пронизывающий виток до начала движения. По условию задачи плоскость рамки составляет угол

с направлением поля; следовательно, угол между нормалью к рамке и направлением линий индукции составляет 2 . Магнитный поток равен Ф=BS cos , где S= r2 — площадь витка. Окончательно получаем, что

А=IB r2cos( /2- )=IB r2sin .

Подставляя численные значения, найдем A= 314 мДж.

Ответ: A= 314 мДж.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 6. Два параллельных провода длиной 1 м каждый расположены на расстоянии 2 см друг от друга. По проводам текут токи I1= I2 =100 А. Направление токов совпадают. Какую работу A нужно совершить, чтобы раздвинуть провода на расстояние 10 см? (Ответ: A= 3,2 мДж.)

50

Задача 7. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на некотором расстоянии друг от друга. По проводникам текут одинаковые токи в одном направлении. Найти токи I1 и I2, текущие по каждому проводнику, если известно, что для того, чтобы раздвинуть эти проводники на вдвое большее расстояние, пришлось совершить работу (на единицу длины проводника) Al = 55 мкДж/м. (Ответ: I1= I2= 20 А.)

Задача 8. Круговой контур помещен в однородное магнитное поле так, что плоскость контура перпендикулярна к направлению магнитного поля. Напряженность магнитного поля H= 150 кА/м. По контуру течет ток I= 2 A. Радиус контура R= 2 см. Какую работу A надо совершить, чтобы повернуть контур на угол = 900 вокруг оси, совпадающей с диаметром контура? (Ответ:

A= 0,5 мДж.)

Задача 9. Квадратная рамка с током I= 0,9 А расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником, по которому течет ток I0= 5 А. Сторона рамки a= 8 см. Проходящая через середины противоположных сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстояние, которое в n= 1,5 раза больше стороны рамки. Найти силу Ампера F, действующую на рамку, и работу A, которую нужно совершить при медленном повороте рамки вокруг ее оси на 1800. (Ответ: F= 0,45 мкН, A= 0,1 мкДж.)

Задача 10. В однородном магнитном поле с индукцией B= 0,5 Тл равномерно движется проводник длиной l= 10 см. По проводнику течет ток I= 2 A. Скорость движения проводника равна v= 20 см/с и направлена перпендикулярно к направлению магнитного поля. Найти работу A перемещения проводника за время t=10 c и мощность P, затраченную на это перемещение. (Ответ: A= 0,2 Дж, P= 20 мВт.)

Задача 11. По сечению проводника равномерно распределен ток плотностью j= 2 MA/м2. Найти циркуляцию вектора напряженности магнитного поля вдоль окружности радиусом R= 5 мм, проходящей внутри проводника и ориентированной так, что ее плоскость составляет угол = 300 c вектором плотности тока. (Ответ: Hl dl 78,6A.)

Задача 12. В однородном магнитном поле с индукцией B= 0,01 Тл находится прямой провод длиной l= 8 см, расположенный перпендикулярно линиям индукции. По проводу течет ток I= 2 А. Под действием сил поля провод переместился на расстояние S= 5 см. Найти работу A сил поля. (Ответ: A= 80 мкДж.)

Задача 13. Виток радиусом 2 см находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,2 Тл. Плоскость витка перпендикулярна линиям индукции поля.

12.2 Магнитное поле, создаваемое тонким прямым проводом – University Physics Volume 2

Глава 12. Источники магнитных полей

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Объяснять, как закон Био-Савара используется для определения магнитного поля, создаваемого тонким прямым проводом.
• Определить зависимость магнитного поля от тонкого прямого провода в зависимости от расстояния до него и тока, протекающего в проводе.
• Нарисуйте магнитное поле, создаваемое тонким прямым проводом, используя второе правило правой руки.

Какой ток необходим для создания значительного магнитного поля, возможно, такого же сильного, как поле Земли? Геодезисты скажут вам, что воздушные линии электропередач создают магнитные поля, которые мешают показаниям их компаса. Действительно, когда в 1820 году Эрстед обнаружил, что ток в проводе влияет на стрелку компаса, он не имел дело с чрезвычайно большими токами. Как форма проводов, по которым течет ток, влияет на форму создаваемого магнитного поля? В главе 28 мы отмечали, что токовая петля создает магнитное поле, подобное магнитному стержню, но как насчет прямого провода? Мы можем использовать закон Био-Савара, чтобы ответить на все эти вопросы, включая определение магнитного поля длинного прямого провода.

На рис. 12.5 показано сечение бесконечно длинного прямого провода, по которому течет ток I . Чему равно магнитное поле в точке P , расположенной на расстоянии R от провода?

Рисунок 12.5  Участок тонкого прямого провода с током. Независимая переменная [латекс]\тета[/латекс] имеет пределы [латекс]{\тета}_{1}[/латекс] и [латекс]{\тета}_{2}.[/латекс]

Начнем с рассмотрения магнитного поля, создаваемого элементом тока [latex]I\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}d\stackrel{\to }{\textbf{x}}[/latex], расположенным в позиция х . Используя правило правой руки 1 из предыдущей главы, [латекс]d\stackrel{\to }{\textbf{x}}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}×\phantom{\rule{0.2 em}{0ex}}\hat{\textbf{r}}[/latex] указывает за пределы страницы для любого элемента вдоль проводника. Таким образом, в точке P магнитные поля, обусловленные всеми элементами тока, имеют одинаковое направление. Это означает, что мы можем вычислить там чистое поле, оценивая скалярную сумму вкладов элементов. {2}}}.\hfill \end {массив}[/латекс] 9{\infty}.[/латекс]

Подстановка пределов дает нам решение

[латекс] B = \ frac {{\ mu } _ {o} I} {2 \ pi R}. [/latex]

Силовые линии магнитного поля бесконечного провода имеют круглую форму с центром в проводе (рис. 12.6) и идентичны во всех плоскостях, перпендикулярных проводу. Поскольку поле уменьшается с расстоянием от провода, расстояние между линиями поля должно соответственно увеличиваться с расстоянием. Направление этого магнитного поля можно найти с помощью второй формы правила правой руки (показано на рис. 12.6). Если вы держите провод правой рукой так, чтобы большой палец был направлен вдоль тока, то ваши пальцы обхватывают провод в том же смысле, что и [латекс]\stackrel{\to }{\textbf{B}}.[/latex ]

Рисунок 12.6  Некоторые силовые линии магнитного поля бесконечной проволоки. Направление [латекс]\stackrel{\to }{\textbf{B}}[/латекс] можно найти с помощью правила правой руки.

Направление силовых линий можно наблюдать экспериментально, поместив несколько маленьких стрелок компаса на окружность рядом с проводом, как показано на рис. 12.7. Когда в проводе нет тока, иглы выравниваются с магнитным полем Земли. Однако, когда по проводу проходит большой ток, все стрелки компаса касаются окружности. Железные опилки, разбросанные по горизонтальной поверхности, также очерчивают линии поля, как показано на рис. 12.7.

Рисунок 12.7  Форму линий магнитного поля длинного провода можно увидеть с помощью (а) маленькой стрелки компаса и (б) железных опилок.

Пример

Расчет магнитного поля, создаваемого тремя проводами

Три провода расположены по углам квадрата, и все они пропускают ток силой 2 ампера на страницу, как показано на рис. 12.8. Вычислите величину магнитного поля в другом углу квадрата, точке P , если длина каждой стороны квадрата равна 1 см.

Рисунок 12.8  По трем проводам на страницу течет ток. Магнитное поле определяется в четвертом углу квадрата.

Стратегия

Рассчитывается магнитное поле каждого провода в нужной точке. Диагональное расстояние рассчитывается по теореме Пифагора. Затем направление вклада каждого магнитного поля определяется путем рисования круга с центром в точке провода и в направлении желаемой точки. Направление вклада магнитного поля от этого провода тангенциально к кривой. Наконец, работая с этими векторами, вычисляется результирующая. 9{\text{−5}}\text{T}.\end{массив}[/latex]

Значение

Геометрия в этой задаче приводит к тому, что вклады магнитного поля в направлениях x и y имеют одинаковую величину. Это не обязательно так, если бы токи были разных значений или если бы провода располагались в разных положениях. Независимо от численных результатов, работа с компонентами векторов даст результирующее магнитное поле в нужной точке.

Проверьте свое понимание

Используя пример 12.3, сохраняя одинаковые токи в проводах 1 и 3, какой должен быть ток в проводе 2, чтобы противодействовать магнитным полям от проводов 1 и 3, чтобы в точке P не было результирующего магнитного поля. ?

Show Solution

4 ампера, вытекающие из страницы

Резюме

• Сила магнитного поля, создаваемого током в длинном прямом проводе, определяется выражением [latex]B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi R}[/latex] (длинный прямой провод), где 9{\text{−7}}\phantom{\rule{0. 2em}{0ex}}\text{T}\cdot \text{м/с}[/latex] — проницаемость свободного пространства.
• Направление магнитного поля, создаваемого длинным прямым проводом, задается правилом правой руки 2 (RHR-2): Направьте большой палец правой руки в направлении тока, а пальцы согните в направлении магнитного поля. петли поля, созданные им.

Концептуальные вопросы

Как бы вы сориентировали два длинных прямых проводника с током так, чтобы между ними не было результирующей магнитной силы? ( 9{4}[/latex] A. Оцените магнитное поле на расстоянии 1 м от болта.

Величина магнитного поля на расстоянии 50 см от длинного тонкого прямого провода составляет [латекс]8,0\фантом{\правило{0,2em}{0ex}}\текст{мкТл}.[/латекс] Какова сила тока по длинному проводу?

Показать раствор

20 А

По линии электропередачи, натянутой на высоте 7,0 м над землей, протекает ток силой 500 А. Каково магнитное поле на земле непосредственно под проводом? Сравните свой ответ с магнитным полем Земли. 9{\text{−5}}\text{T}.[/latex]

По двум длинным параллельным проводам, показанным на прилагаемом рисунке, текут токи в одном направлении. Если [латекс]{I}_{1}=\text{10 A}[/latex] и [латекс]{I}_{2}=20\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text {A},[/latex] каково магнитное поле в точке P?

На прилагаемом рисунке показаны два длинных прямых горизонтальных провода, расположенных параллельно и на расстоянии 2 a друг от друга. Если по обоим проводам течет ток I в одном и том же направлении, (а) каково магнитное поле в точке [латекс]{P}_{1}?[/латекс] (б) [латекс]{P}_{2} ?[/латекс]

Показать решение

В точке P1 чистое магнитное поле равно нулю. В P2 [латекс]B=\frac{3{\mu }_{o}I}{8\pi a}[/latex] на страницу.

Повторите расчеты предыдущей задачи с обратным направлением тока в нижнем проводе.

Рассмотрим область между проводами предыдущей задачи. На каком расстоянии от верхнего провода суммарное магнитное поле минимально? Предположим, что токи равны и текут в противоположных направлениях.

Показать решение

Магнитное поле минимально на расстоянии a от верхнего провода или на полпути между проводами.

Лицензии и атрибуты

Магнитное поле из-за тонкого прямого провода. Автор : Колледж OpenStax. Расположен по адресу : https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/12-2-magnet-field-due-to-a-thin-direct-wire. Лицензия : CC BY: Attribution . Условия лицензии : Скачать бесплатно на https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/1-introduction

Объяснение урока: Магнитное поле, создаваемое током в прямом проводе

В этом объяснении мы узнаем, как рассчитать магнитное поле, создаваемое током в прямом проводе.

Мы знаем, что движущийся заряд или ток создает магнитное поле. Длинный прямой отрезок провода, по которому течет ток.
𝐼 показано на диаграмме ниже. Поскольку в проводе присутствует ток, магнитное поле
производится вокруг провода и состоит из замкнутых концентрических кругов, как показано серыми петлями на диаграмме.

Силу результирующего магнитного поля 𝐵 можно найти на любом расстоянии 𝑑
от провода, используя приведенное ниже уравнение.

Напряженность магнитного поля, вызванного током в прямом проводе

Напряженность магнитного поля, 𝐵, на некотором расстоянии 𝑑 от прямого провода
с током 𝐼 можно найти с помощью уравнения
𝐵=𝜇𝐼2𝜋𝑑,
где 𝜇 — константа, известная как «проницаемость свободного пространства», и имеет значение
𝜇=4𝜋×10⋅/TmA.

Следует отметить, что расстояние 𝑑 необходимо измерять перпендикулярно проводу. Перпендикуляр
измерение расстояния показано на диаграмме ниже.

Напряженность поля, 𝐵, уменьшается по мере удаления от провода, 𝑑,
увеличивается. Это показано на приведенной ниже диаграмме, на которой показан вид по длине прямого токоведущего провода.
проволока. Следует отметить, что точка в центре провода указывает на то, что ток направлен наружу и
перпендикулярно — экрану.

Области, где линии поля расположены ближе друг к другу, указывают, где поле сильнее. Хотя только некоторые линии поля
показаны выше, поле технически присутствует даже на бесконечно большом расстоянии от провода. Тем не менее, сила
поле пренебрежимо мало очень далеко. Это потому, что расстояние 𝑑 появляется в знаменателе
уравнения для напряженности магнитного поля; таким образом, 𝐵 и 𝑑 обратно пропорциональны
друг к другу, а напряженность магнитного поля стремится к 0, когда 𝑑 стремится к бесконечности. Эта пропорциональность
показано на графике ниже.

Давайте попрактикуемся в использовании уравнения для магнитного поля, создаваемого прямым проводом с током.

Пример 1: Расчет магнитного поля, создаваемого током в прямом проводе

По длинному прямому кабелю на промышленной электростанции протекает постоянный ток
100 А. Рассчитайте напряженность результирующего магнитного поля
на перпендикулярном расстоянии 0,06 м от этого кабеля. Использовать
4𝜋×10 Т⋅м/А для значения 𝜇. Дайте ответ в экспоненциальном представлении с точностью до двух знаков после запятой.

Ответ

Для начала вспомним уравнение для определения напряженности магнитного поля на расстоянии 𝑑
от прямого провода с током 𝐼,
𝐵=𝜇𝐼2𝜋𝑑.

Поскольку нам были даны значения для 𝜇, 𝐼 и 𝑑, мы
готовы подставить их и решить для силы магнитного поля, 𝐵. Таким образом, у нас есть
𝐵=4𝜋×10⋅/()2𝜋(0,06).TmAAm

Мы можем упростить математику, сократив некоторые термины и единицы измерения. Мы отменим единицы
метров, потому что м
появляется в числителе и знаменателе. В числитель входят как 1/A
и А,
так что ампер тоже компенсируется. Это оставляет нам только единицу напряженности магнитного поля,
тесла. Далее мы можем отменить
2𝜋 от числителя и знаменателя, поэтому имеем
𝐵=2×10(100)0,06=3,333×10,TT

Округлив до двух знаков после запятой, ответ будет
3,33×10 T.

Помимо использования точных значений для расчета напряженности поля, мы можем использовать уравнение магнитного поля, чтобы исследовать некоторые другие
концептуальные свойства.

Пример 2. Определение пропорциональности магнитного поля, обусловленного током в прямом проводе

По длинному прямому проводу течет постоянный ток, который создает напряженное магнитное поле
𝐵 тесла на перпендикулярном расстоянии
𝑑см от проволоки. Предполагая
система не меняется, какова связь между 𝐵 и силой напряженности магнитного поля
𝐵 на перпендикулярном расстоянии
2𝑑 см от провода? Предположим 𝐵
и 𝐵 намного больше, чем напряженность магнитного поля Земли.

1. 𝐵=14𝐵
2. 𝐵=12𝐵
3. 𝐵=𝐵
4. 𝐵=2𝐵
5. 𝐵=4𝐵

Ответ

Начнем с того, что вспомним уравнение определить напряженность магнитного поля на некотором расстоянии от прямой
провод с током,
𝐵=𝜇𝐼2𝜋𝑑.

Здесь у нас есть два измерения напряженности поля, 𝐵 и 𝐵, измеренные на расстояниях
которые мы будем называть 𝑑 и 𝑑 соответственно. Нам говорят, что все остальные свойства
системы постоянны, поэтому величина 𝜇𝐼2𝜋 эквивалентна в обоих случаях. Мы можем разработать соотношение, чтобы связать эти значения:
𝐵𝐵=𝑑𝑑.

Сравнивая измеренные расстояния от провода, мы знаем, что 𝑑 вдвое больше, чем 𝑑, поэтому
𝑑=2𝑑.

Подставляя это в уравнение выше, мы имеем
𝐵𝐵=2𝑑𝑑.

Теперь мы можем сократить члены 𝑑 в правой части уравнения:
𝐵𝐵=2.

Теперь, находя 𝐵,
𝐵=12𝐵.

Таким образом, напряженность магнитного поля 𝐵 измеряется на удвоенном расстоянии от провода как 𝐵
и имеет половину силы 𝐵. Следовательно, вариант Б правильный.

Пример 3. Расчет силы тока в прямом проводе с учетом магнитного поля.
Напряженность поля

По прямому проводу в электрической цепи протекает постоянный ток
𝐼 A. Результирующее магнитное поле при
перпендикулярное расстояние 18 мм от этого провода
измерено как 1,2 × 10 T. Рассчитайте 𝐼 с точностью до ампера. Использовать
4𝜋×10 Т⋅м/А для значения 𝜇.

Ответ

Здесь нам дано значение магнитного поля, создаваемого током в прямом проводе, и мы
сказали найти значение тока. Начнем с того, что вспомним уравнение для напряженности магнитного поля
за счет прямого токоведущего провода,
𝐵=𝜇𝐼2𝜋𝑑.

Чтобы найти ток 𝐼, мы умножим обе части уравнения на
2𝜋𝑑𝜇. Таким образом, у нас есть
𝐼=2𝜋𝑑𝐵𝜇.

Прежде чем мы продолжим, мы конвертируем наше значение расстояния в метры, так как оно дано нам в
миллиметры. Мы знаем это
𝑑=18=0,018мм.

Теперь, подставив все наши значения, мы имеем
𝐼=2𝜋(0,018)1,2×104𝜋×10⋅/=10,8.mTTmAA

Округляя до ближайшего ампера, получаем, что сила тока в проводе равна 11 А.

До сих пор мы интересовались только величиной или силой магнитного поля, возникающего из-за тока в проводе. Однако,
мы должны помнить, что магнитное поле является векторной величиной, поскольку оно определяется как величиной, так и направлением. Мы будем
используйте правило правой руки, чтобы определить направление магнитного поля, как описано ниже.

Правило: Правило правой руки для магнитного поля, обусловленного током в прямом проводе

Чтобы определить направление магнитного поля, обусловленного прямым проводником с током, выполните следующие действия:

1. Направив большой палец правой руки в сторону течения.
2. «Возьмите» проволоку, скручивая пальцы вокруг ее воображаемой оси. Направление, в котором сгибаются пальцы
   в соответствует направлению магнитного поля.

На приведенной ниже схеме показано, как правой рукой обматывать проволоку вокруг оси. Обратите внимание, как большой палец указывает на
направление тока и что пальцы загибаются в том же направлении, что и магнитное поле.

В следующем примере мы попрактикуемся в использовании правила правой руки.

Пример 4: Использование правила правой руки для магнитного поля, обусловленного током в прямом проводе

По длинному прямому проводу течет постоянный ток 𝐼, который индуцирует магнитное поле
𝐵. Силовые линии магнитного поля 𝐵 показаны на диаграмме. Судя по схеме,
укажите направление условного тока в проводе.

Ответ

Вспомните, что движущиеся заряды создают магнитное поле и что мы можем определить направление тока в проводе, используя
правило правой руки. Для этого правой рукой «схватите» провод, большим пальцем указывая в направлении
тока. Затем согните пальцы в кулак, и направление, в котором сгибаются пальцы, указывает направление движения.
результирующее магнитное поле.

Чтобы проверить, идет ли ток снизу вверх, мы направляем большой палец вверх и сгибаем пальцы. В этом случае, как
если смотреть сверху (как на диаграмме), магнитное поле будет направлено против часовой стрелки. Это противоречит тому, что
показано на диаграмме, поэтому мы знаем, что ток не движется снизу вверх.

Мы можем убедиться, что ток действительно движется сверху вниз, сделав правой рукой большой палец вниз.