Потенциал в электродинамике: Потенциал. Разность потенциалов. Напряжение — урок. Физика, 10 класс.

Потенциал электрического поля. Разность потенциалов 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Введение

 

Электрическое поле действует на помещенный в него заряд с силой, которая определяется величиной заряда и напряженностью поля в данной точке.

 

Если эта сила перемещает заряд – то она совершает работу. Даже если заряда в поле нет, то потенциально эта работа все равно может быть совершена, как только он там окажется. Из опыта других разделов физики мы знаем, что работа связана с энергией.

Для решения некоторых задач удобно использовать энергетическую модель описания электрического поля. Проведем аналогию с гравитационным полем.

 

Понятие потенциала

 

 

Если мы поднимем тело массы , лежащее на земле на высоту  (см. рис. 1), мы изменим его потенциальную энергию на величину . Именно такую работу  и необходимо совершить для этого подъема.

 

Рис. 1. Изменение потенциальной энергии

Для любой массы  разница энергий на высоте 0 и  будет равна  (см. рис. 2).

Рис. 2. Разница потенциальных энергий

Если разделить значение потенциальной энергии  на массу, мы получим величину, характеризующую гравитационное поле в данной точке. Выражение  уже не зависит от массы, оно показывает работу, которую необходимо совершить для переноса тела, с некоторой массой, на высоту , деленную на эту массу.

Теперь посмотрим, как ввести аналог потенциальной энергии приведенной на единицу массы в электрическом поле.

На заряд , находящийся в поле другого заряда , закрепленного в некоторой точке пространства, действует сила Кулона . Эта сила может переместить заряд , совершив при этом работу. Значит, система двух зарядов, находящихся на определенном расстоянии, обладает потенциальной энергией, зависящей от величины зарядов и расстояния между ними.

Если по аналогии с гравитационным полем рассмотреть величину, равную этой энергии, деленной на заряд , то она уже не будет зависеть от заряда  и охарактеризует только поле заряда  в данной точке. То есть будет являться функцией заряда  и расстояния между зарядами. Эта величина и называется потенциалом электрического поля.

Разность потенциалов двух точек, умноженная на величину заряда , равна работе, необходимой для перемещения этого заряда между этими точками. То есть разность потенциалов двух точек поля – это работа по перемещению между ними единичного заряда.

Как и в поле сил тяжести, эта работа не зависит от траектории  и определяется только положением точек, между которыми перемещается единичный заряд. Такие поля называют консервативными. В разделе «Механика» мы уже говорили, что энергия – величина, требующая для измерения задания «начала отсчета». Например, в гравитационном поле мы можем считать нулевой потенциальную энергию тела, находящегося на уровне земли. В случае электростатического поля, создаваемого зарядом, естественно считать нулевой потенциальной энергией некоторого заряда, находящегося в поле, его энергию на бесконечном удалении от заряда, в поле которого он находится. Это и есть «точка отсчета» для потенциальной энергии поля заряда.

Потенциал поля в некоторой точке равен работе по перемещению единичного заряда из этой точки на бесконечность.

 

Выражение для потенциала поля точечного заряда

 

 

Пусть положительный заряд  находится на расстоянии  от положительного заряда  (см. рис. 3).

 

Рис. 3. Изначальное положение заряда

Какую работу совершит электрическое поле при перемещении заряда  вдоль радиуса в точку, отдаленную на  от ? (см. рис. 4)

Рис. 4. Конечное положение заряда

По определению работа силы равна этой силе, умноженной на перемещение:

В данном случае действует сила электрического взаимодействия (см. рис. 5), по закону Кулона .

Рис. 5. Действие силы электрического взаимодействия

Сила и перемещение в нашем случае сонаправлены,  и . Так мы можем находить работу для случая, когда сила постоянна на всей траектории. Здесь же сила изменяется по мере отдаления зарядов друг от друга.

Обозначим перемещение заряда (см. рис. 6).

Рис. 6. Перемещение заряда

По мере перемещения заряда  сила изменяется, но на малом (в сравнении с расстоянием до заряда ) отрезке можем считать ее постоянной и находить работу по определению, которое мы привели выше.

Работа, совершаемая силой Кулона на таком малом отрезке  равна , где силу  можно считать постоянной на всем отрезке . Тогда работа при перемещении на расстояние  будет равна сумме работ на  участках (), на каждом из которых сила Кулона постоянна и равна .

Эта сумма будет равна 

Подробный вывод этой формулы вы можете проследить в ответвлении.

 

---

Работа при перемещении электрического заряда

Работа по перемещению заряда на малом участке  равна:

Работа на участке  равна сумме работ на каждом участке :

Воспользуемся приближенным равенством:

Прежде чем его применить, покажем, что равенство справедливо. Приведем правую часть к общему знаменателю:

Раскроем скобки:

Заметим, что  – пренебрежимо малая по сравнению с  величина,  не может считаться пренебрежимо малой, т. к. количество  участков  велико. Поэтому в знаменателе можем пренебречь членами  и .

Вернемся к нахождению работы. Распишем выражение по полученной формуле:

Распишем сумму:

---

 

Мы знаем, что работа связана с энергией. Система обладает энергией, если силы, возникающие в системе, могут выполнить работу (в нашем случае это сила электростатического взаимодействия зарядов). Работа равна уменьшению потенциальной энергии:

Сравнив с выражением , делаем вывод, что  – это потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов. Ранее мы приняли, что потенциальная энергия заряда, отдаленного от источника электрического поля на бесконечность, равна нулю. Посмотрим, как с этим согласуется полученная формула:

Действительно,  будет равна нулю на бесконечном отдалении от заряда , т. к.  при .

Теперь проверим, как полученный результат соотносится с моделью, в которой разноименные заряды обозначены знаками плюс и минус. Если заряды одноименные, то потенциальная энергия взаимодействия положительна . Система стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией (как и, например, камень на некоторой высоте  над поверхностью земли, предоставленный сам себе, будет падать вниз, т. е. уменьшать высоту и с ней потенциальную энергию )

Действительно, заряды будут отталкиваться и сила электрического взаимодействия будет вызывать перемещение заряда на большее расстояние, потенциальная энергия  будет уменьшаться.

Если заряды разноименные, то потенциальная энергия взаимодействия  имеет знак минус. Заряды притягиваются, и сила их взаимодействия вызывает перемещение заряда на меньшее расстояние , потенциальная энергия  уменьшается.

 

Потенциал электрического поля

 

 

Энергия заряда  в поле заряда , равная , зависит от величин обоих зарядов. Характеристика поля, созданного зарядом , естественно, не должна зависеть от величины помещенного в него заряда. Разделим  на  и получим . Эта величина называется потенциалом электрического поля и обозначается буквой . Эта характеристика поля показывает, какой энергией обладает положительный заряд, помещенный в данную точку поля. Как и энергия, потенциал – скалярная величина, измеряется в вольтах.

 

В нашем случае  – потенциал поля точечного заряда. Точка отсчета потенциалов в нашем случае естественным образом является бесконечно отдаленной точкой (см. рис. 7).

Рис. 7. Точка отсчета потенциалов

В зависимости от задачи точкой отсчета выбирают потенциал поверхности Земли, потенциал отрицательно заряженной пластины конденсатора или потенциал любой другой точки, удобной для решения задачи.

Таким образом, пользуясь определением потенциала, можно вычислить потенциальную энергию заряда, находящегося в электростатическом поле:

и работу поля по перемещению заряда из точки с потенциалом  в точку с потенциалом :

Электрическое поле является консервативным, его работа не зависит от траектории движения заряда, а зависит только от перемещения.

Заряд всегда распределен на каком-то теле, имеющем геометрические размеры. На расстояниях, много больших размеров тела, поле слабо зависит от объема и формы этого тела, и потому модели точечного заряда достаточно. Например, потенциал поля заряженного металлического шара при  эквивалентен потенциалу поля точечного заряда (см. рис. 8):

Рис. 8. Потенциал поля при

.

Внутри шара потенциал во всех точках одинаков и равен потенциалу на поверхности шара (см. рис. 9):

Рис. 9. Потенциал внутри шара

.

Если бы это было не так, то потенциальная энергия в разных точках внутри шара отличалась бы, а, так как внутри металла есть свободные носители заряда, поле выполняло бы работу по перемещению зарядов. В итоге электроны переместились бы в область большего потенциала, тем самым уменьшив его. Таким образом, потенциал во всех точках приравнивается.

Потенциал подчиняется принципу суперпозиции. При наличии нескольких источников поля складываются как векторы напряженности поля, так и потенциалы:

 

Задача 1

 

 

При перемещении заряда между точками с разностью потенциалов 1 кВ электрическое поле совершило работу 40 мкДж. Чему равен заряд?

 

Это простая задача на понимание смысла величины разности потенциалов.

Разность потенциалов равна работе по переносу заряда, деленной на величину этого заряда.

Выразим значение заряда:

И вычислим ответ:

Ответ: 

 

Задача 2

 

 

Какую работу надо совершить, чтобы перенести заряд 5 мкКл из бесконечности в точку поля, удаленную от центра заряженного шара на 18 см? Заряд шара – 20 мкКл.

 

Порассуждаем.

• Потенциал поля заряженного шара на бесконечности равен нулю. Следовательно, приближая заряд от бесконечности к шару, внешней силе нужно совершать работу для преодоления силы электростатического взаимодействия. Численно эта работа будет равна работе электрического поля заряженного шара по перемещения заряда с расстояния 18 см на бесконечность.
• Работа по переносу заряда в электрическом поле связана с разностью потенциалов между начальной и конечной точками траектории и величиной заряда 
• Величина переносимого заряда у нас есть.
• Потенциал поля заряженного шара на бесконечности, как мы уже отметили, равен нулю. А в конечной точке траектории мы сможем его вычислить, пользуясь формулой для потенциала поля точечного заряда, которая справедлива и для поля вне заряженного шара.

Приступим к решению.

Найдем потенциал электрического поля заряженного шара в конечной точке траектории.

Потенциал электрического поля заряженного шара на бесконечности равен нулю.

Разность потенциалов электрического поля по переносу заряда из точки с потенциалом  в точку с потенциалом  будет равна:

В то же время она будет равна работе электрического поля по переносу заряда, деленной на заряд:

Величина работы внешних сил, которую надо совершить, чтобы перенести заряд из точки с меньшим потенциалом в точку с большим потенциалом, равна работе электрического поля по переносу такого же заряда в обратном направлении.

Таким образом, мы получили систему из пяти уравнений, решив которую найдем искомую величину. Пронаблюдать математическую часть решения задачи вы можете в свертке.

Ответ: .

---

Математическая часть решения задачи 2

Подставим выражения для потенциалов из первого и второго уравнений в третье:

Подставим полученную разность потенциалов в четвертое уравнение.

И выразим работу электрического поля:

Согласно пятому уравнению это и есть искомая работа .

Подставим данные из условия и рассчитаем ответ:

Задача решена.

---

 

На этом наш урок закончен. Спасибо за внимание.

 

Список литературы

1. Соколович Ю. А., Богданова Г. С. Физика: Справочник с примерами решения задач. – 2-е издание передел. – X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
2. Мякишев Г. Я., Буховцев Б. Б., Сотский Н. Н. Физика: Учеб. для общеобразоват. учреждений. Базовый и профильный уровни. 19-е издание – М.: Просвещение, 2010. 

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «phyzika. ru» (Источник)
2. Интернет-сайт «physics.ru» (Источник)
3. Интернет-сайт «knowlegeport.narod.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Какой вид имеет формула для работы электрического поля?
2. Что такое потенциал электрического поля?
3. Решите задачу: точечный заряд , находясь в некоторой точке поля, обладает потенциальной энергией 1 мкДж. Найдите потенциал этой точки поля.

 

Электрический потенциал простыми словами: формулы, единица измерения

Электрический потенциал — это скалярная энергетическая характеристика электростатического поля, характеризующая потенциальную энергию, которой обладает единичный положительный пробный заряд, помещённый в данную точку поля. 

Если вы хотите расширить свои знания об электрическом потенциале или сначала узнать, что такое электрический потенциал, то вы пришли по адресу.

Простое объяснение

В классической механике рассмотрение проблемы с точки зрения энергии может значительно упростить ситуацию по сравнению с рассмотрением ее с точки зрения сил, действующих на систему. В частности, в этом контексте существенную роль играет тот факт, что энергия является сохраняющейся переменной.

Также в классической электродинамике рассмотрение на энергетическом уровне оказывается очень полезным. Поэтому электрический потенциал φ (также называемый электростатическим потенциалом) определяется как отношение потенциальной энергии E_пот пробного электрического заряда и его величины электрического заряда q: φ = E_пот / q .

Возможность определения такого электрического потенциала обусловлена тем, что электрическое поле E распределения заряда и результирующая электростатическая сила F_c на пробном электрическом заряде является консервативной силой, подобной гравитационной силе.

Электрический потенциал имеет единицу измерения вольт В или также джоуль на кулон Дж / Кл .

Формулы

В этом разделе мы познакомим вас с двумя важными формулами для электрического потенциала определенных распределений электрических зарядов. Мы также кратко обсудим аналогию между электрическим потенциалом и гравитацией.

Пластинчатый конденсатор

Мы рассматриваем ситуацию, когда две плоские пластины расположены параллельно на расстоянии d друг от друга. Кроме того, пусть одна из двух пластин заряжена положительно, а другая — отрицательно. Такая комбинация также называется пластинчатым конденсатором. Обозначим точку на положительной пластине через A, а точку на отрицательной пластине через B. Тогда для разности потенциалов между этими двумя точками получим:

φ_В — φ_A = — E * d .

Здесь E — величина электрического поля между двумя пластинами, которое предполагается однородным. Такая разность потенциалов также называется электрическим напряжением, которое существует между этими двумя точками.

Из этого уравнения видно, что электрический потенциал на положительно заряженной пластине (пластина A) выше, чем потенциал на отрицательно заряженной пластине (пластина B). Поэтому положительный заряд в пластинчатом конденсаторе перемещается к отрицательной пластине. В общем случае электрическое поле — а значит, и направление движения положительного заряда — направлено в ту сторону, в которой электрический потенциал убывает быстрее всего.

Рис. 1. Пластинчатый конденсатор

Аналогия с гравитационным полем

Если умножить уравнение (приведенное выше в статье) на величину электрического заряда q пробного электрического заряда и предположить, что отрицательно заряженная пластина имеет электрический потенциал, равный нулю, то электрическая потенциальная энергия на расстоянии h от пластины равна:

E_{пот. эл} = q * φ = q * E * h

Здесь φ обозначает электрический потенциал в точке пробного электрического заряда.

Сравним это уравнение с потенциальной энергией в однородном гравитационном поле:

E_{пот. гр} = m * g * h .

Мы определяем, что количество заряда электрического q играет роль массы m, а величина электрического поля E играет роль гравитационного ускорения g. Масса, находящаяся на высоте h над землей, ускоряется по направлению к земле под действием земного притяжения.

Таким образом, масса движется в том направлении, в котором уменьшается ее потенциальная энергия. Аналогично, положительный электрический заряд движется в направлении, в котором его электрическая потенциальная энергия будет уменьшаться. Поскольку электрическая потенциальная энергия и электрический потенциал линейно связаны, это наблюдение аналогично тому, что положительно заряженная частица движется в направлении уменьшения электрического потенциала.

Рис. 2. Аналогия с гравитационным полем

Подобно потенциальной энергии, только разность потенциалов имеет физический смысл, поскольку при определении электрического потенциала необходимо произвольно определить точку отсчета, от которой затем можно обозначить другие точки в пространстве. В этом смысле электрический потенциал сам по себе не имеет реального физического смысла, поскольку для данной точки в пространстве его значение можно изменить, выбрав другую точку отсчета. Таким образом, электрический потенциал ведет себя подобно высоте, потому что вы не можете говорить о высоте, пока у вас нет точки отсчета.

На топографической карте — пути, вдоль которых высота не меняется, называются изолиниями. Аналогично, пути, вдоль которых электрический потенциал постоянен, называются эквипотенциальными линиями.

Заряженные частицы

Предположим, что частица с зарядом q находится в начале выбранной нами системы координат. Пусть положение другой точки равно r и пусть r — расстояние между двумя точками. Для электрического потенциала в точке r действует следующее соотношение:

φ (r) = q / 4 * π * ε₀ * r ,

здесь ε₀ — электрическая постоянная.

В этом уравнении предполагается, что под действием электрического поля положительный пробный электрический заряд переносится из бесконечности в положение r.

Примеры задач

Наконец, давайте вместе рассчитаем небольшой пример. Предположим, что электрон ускоряется от отрицательно заряженной пластины к положительно заряженной через разность потенциалов 2000 В. Как изменяется потенциальная энергия электрона?

Для разности электрических потенциалов между двумя пластинами: φ_B — φ_A = ΔE_пот / q , преобразованной в искомое изменение потенциальной энергии, получаем:

ΔE_пот = q * ( φ_B — φ_A ) .

Величина электрического заряда электрона равна q_e = e = — 1,6 * 10^-19 Кл и поэтому получаем:

ΔE_пот = e * ( φ_B — φ_A ) = — 1,6 * 10^-19 Кл * 2000 В = -3,2 * 10^-19 Дж.

Обратите внимание, что [ В ] = Дж / Кл. Кроме того, мы предположили, что пластина с точкой B заряжена положительно, поэтому перед 2000 В нет знака минус. Расчет показывает, что потенциальная энергия электрона уменьшается.

Список использованной литературы

1. Соколович Ю. А., Богданова Г. С. Физика: Справочник с примерами решения задач. – 2-е издание передел. – X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
2. Мякишев Г. Я., Буховцев Б. Б., Сотский Н. Н. Физика: Учеб. для общеобразоват. учреждений. Базовый и профильный уровни. 19-е издание – М.: Просвещение, 2010.

Q10.33P Разработайте рецептуру потенциала… [БЕСПЛАТНОЕ РЕШЕНИЕ]

Q10.33P Разработайте рецептуру потенциала… [БЕСПЛАТНОЕ РЕШЕНИЕ] | StudySmarter

Выберите язык

Предлагаемые языки для вас:

Немецкий (DE)

Дойч (Великобритания)

Европа

• английский (DE)

• английский (Великобритания)

  9db’

  , то есть выполняется закон Кулона, при этом плотность заряда оценивается в незапаздывающее время.

  Расширяющаяся сфера, радиус R(t)=vt (, постоянная), несет заряд Q, равномерно распределенный по ее объему. Вычислить интеграл

  Qeff=∫ρ(r,t)dτ

  относительно центра. Покажите, что Qeff≈Q(1-3c4) , если v<

  (a) Найдите поля, а также распределения заряда и тока, соответствующие

  v(r,t)=0,A(r,t)=-14ττε0qtr2r

  (b) Используйте калибровочную функцию λ=-(1/4ττε0)(qt/r) для преобразования возможности и прокомментируйте результат.

  Предположим, что плотность тока изменяется достаточно медленно, чтобы мы могли (в хорошем приближении) игнорировать все высшие производные в разложении Тейлора

  J(tr)=J(t)+(tr-t)J(t)+…

  (для ясности я опускаю r-зависимость, о которой не идет речь). Покажите, что случайное сокращение в уравнении 10,38 дает 9р2дб’.

  То есть: выполняется закон Био-Савара, где J оценивается в незапаздывающее время. Это означает, что квазистатическое приближение на самом деле намного лучше, чем мы могли ожидать: две возникающие ошибки (пренебрежение запаздыванием и отбрасывание второго члена в уравнении 10.38) компенсируют друг друга в первом порядке.

  Рекомендуемые пояснения к учебникам по физике

  94% пользователей StudySmarter получают более высокие оценки.

  Бесплатная регистрация

  Этот веб-сайт использует файлы cookie для улучшения вашего опыта. Мы предполагаем, что вы согласны с этим, но вы можете отказаться, если хотите. Принять

  Политика конфиденциальности и использования файлов cookie

  Магнитный потенциал | Энциклопедия MDPI

  Термин «магнитный потенциал» может использоваться для обозначения любой из двух величин в классическом электромагнетизме: векторного магнитного потенциала или просто векторного потенциала, A; и магнитный скалярный потенциал ψ. Обе величины могут использоваться при определенных обстоятельствах для расчета магнитного поля B. Более часто используемый магнитный векторный потенциал определяется так, что его ротор равен магнитному полю: [math]\displaystyle{ \nabla \times \mathbf{A} =\mathbf{B}\, }[/math]. Вместе с электрическим потенциалом φ магнитный векторный потенциал также может использоваться для определения электрического поля E. Следовательно, многие уравнения электромагнетизма могут быть записаны либо в терминах полей E и B, либо, что эквивалентно, в терминах потенциалов φ и A. В более продвинутых теориях, таких как квантовая механика, в большинстве уравнений используются потенциалы, а не поля. Магнитный скалярный потенциал ψ иногда используется для определения магнитного H-поля в случаях, когда нет свободных токов, аналогично использованию электрического потенциала для определения электрического поля в электростатике. Одним из важных применений ψ является определение магнитного поля, создаваемого постоянными магнитами, когда известна их намагниченность. С некоторой осторожностью скалярный потенциал можно распространить и на свободные токи. Исторически лорд Кельвин впервые ввел векторный потенциал в 1851 году вместе с формулой, связывающей его с магнитным полем.

  1. Потенциал магнитного вектора

  Магнитный векторный потенциал A является векторным полем, определяемым наряду с электрическим потенциалом ϕ (скалярное поле) по уравнениям: ^[1]

  [Math] \displaystyle{ \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\,\quad \mathbf{E} = -\nabla\phi — \frac{ \partial \mathbf{A}} }{ \partial t }\,}[/математика]

  , где B — магнитное поле, а E — электрическое поле. В магнитостатике, где нет изменяющегося во времени распределения заряда, необходимо только первое уравнение. (В контексте электродинамики члены векторный потенциал и скалярный потенциал используются для магнитного векторного потенциала и электрического потенциала соответственно. В математике векторный потенциал и скалярный потенциал могут быть обобщены на более высокие измерения. )

  Если электрические и магнитные поля определяются, как указано выше, из потенциалов, они автоматически удовлетворяют двум уравнениям Максвелла: закону Гаусса для магнетизма и закону Фарадея. Например, если A является непрерывным и везде четко определенным, то это гарантированно не приведет к магнитным монополям. (В математической теории магнитных монополей A может быть либо неопределенным, либо многозначным в некоторых местах; подробности см. в разделе магнитный монополь).

  Начиная с приведенных выше определений:

  [math]\displaystyle{ \begin{align} \nabla \cdot \mathbf{B} &= \nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf{A}\ справа) = 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} &= \nabla \times \left( -\nabla\phi — \frac{ \partial\mathbf{A} }{ \partial t } \right) = -\frac{ \partial }{ \partial t } \left(\nabla \times \mathbf{A}\right) = -\frac{ \partial \mathbf{B} }{ \partial t }. \end{выравнивание} }[/math]

  Альтернативно существование A и ϕ гарантируется этими двумя законами с помощью теоремы Гельмгольца. Например, поскольку магнитное поле не имеет дивергенции (закон Гаусса для магнетизма, т. Е. ∇ ⋅ B = 0), всегда существует A , удовлетворяющее приведенному выше определению.

  Векторный потенциал A используется при изучении лагранжиана в классической механике и в квантовой механике (см. уравнение Шредингера для заряженных частиц, уравнение Дирака, эффект Ааронова–Бома).

  В системе СИ единицами измерения A являются В·с·м ⁻¹ , и они совпадают с импульсом на единицу заряда или силой на единицу тока.

  Линейный интеграл A по замкнутому контуру равен магнитному потоку через замкнутую поверхность:

  [math]\displaystyle{ \oint_\Gamma \mathbf{A}\, \cdot\, d{ \mathbf{\Gamma}} = \iint_S \nabla\times\mathbf{A}\, \cdot\, d\mathbf{S}=\Phi_B. }[/математика]

  Таким образом, единицы из A также эквивалентны Weber на метр. Приведенное выше уравнение полезно при квантовании потока сверхпроводящих петель.

  Хотя магнитное поле B представляет собой псевдовектор (также называемый аксиальным вектором), векторный потенциал A является полярным вектором. ^[2] Это означает, что если бы правило правой руки для перекрестных произведений было заменено правилом левой руки, но без изменения каких-либо других уравнений или определений, то B поменял бы знаки, но A не изменится. Это пример общей теоремы: ротор полярного вектора является псевдовектором, и наоборот. ^[2]

  1.1. Выбор манометра

  Основная страница: Физика:Крепление манометра

  Приведенное выше определение не дает однозначного определения магнитного векторного потенциала, потому что по определению мы можем произвольно добавлять к магнитному потенциалу компоненты без завитков, не изменяя наблюдаемое магнитное поле. Таким образом, имеется некоторая степень свободы при выборе 92} &= -\mu_0 \mathbf{J} \end{align} }[/math]

  В других датчиках уравнения другие. Другая запись для записи тех же уравнений (с использованием четырех векторов) показана ниже.

  1.3. Расчет потенциалов по исходным распределениям

  Главная страница: Физика:Запаздывающий потенциал

  Решения уравнений Максвелла в калибровке Лоренца (см. Feynman ^[1] и Jackson ^[3] ) с граничным условием, что оба потенциала достаточно быстро стремятся к нулю по мере их приближения к бесконечности, называются запаздывающими потенциалами, которые магнитный векторный потенциал A ( r , t ) и электрический скалярный потенциал ϕ ( r , t ) за счет распределения тока с плотностью тока Дж ( р ′, т ′ ), плотность заряда ρ ( R ′, T ′) и объем ω, в пределах которого ρ и J , по крайней мере, являются нелевыми, по крайней мере, иногда и в некоторых местах):

  [Математика] являются ненулевыми, по крайней мере, и в некоторых местах):

  \displaystyle{ \begin{align} \mathbf{A} \left(\mathbf{r}, t\right) &= \frac{\mu_0}{4\pi} \int_\Omega \frac{\mathbf{J }\left(\mathbf{r}’ , t’\right)}{\left|\mathbf{r} — \mathbf{r}’\right|}\, \mathrm{d}^3\mathbf{r }’ \\ \phi \left(\mathbf{r}, t\right) &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_\Omega \frac{\rho \left(\mathbf{r} ‘, t’\right)}{\left|\mathbf{r} — \mathbf{r}’\right|}\, \mathrm{d}^3\mathbf{r}’ \end{align} }[ /математика]

  , где поля в векторе положения r и времени t вычисляются из источников в удаленном положении r ′ в более раннее время t ′. Местоположение r ′ является исходной точкой в ​​распределении заряда или тока (также переменной интегрирования в пределах объема Ω). Более раннее время t ′ называется запаздывающим временем и рассчитывается как

  [math]\displaystyle{ t’ = t — \frac{\left|\mathbf{r} — \mathbf{r}’ \right|}{c} }[/math]. 92}\frac{\partial\phi}{\partial t} = 0 }[/math] выполняется.

• Положение r , точка, в которой находятся значения для ϕ и A , входит в уравнение только как часть скалярного расстояния от r ′ до r . Направление от r ′ к r в уравнение не входит. Единственное, что имеет значение в точке источника, это то, как далеко она находится.
• Подынтегральная функция использует запаздывающее время , т ′. Это просто отражает тот факт, что изменения в источниках распространяются со скоростью света. Следовательно, плотности заряда и тока, влияющие на электрический и магнитный потенциал в точках r и t из удаленного местоположения r ′, также должны быть в какой-то предшествующий момент времени t ′.
• Уравнение для A является векторным уравнением. В декартовых координатах уравнение распадается на три скалярных уравнения: ^[4]

  93\mathbf{r}’ \end{align} }[/math]

В этой форме легко увидеть, что компонент A в заданном направлении зависит только от компонентов J , которые находятся в том же направлении. Если ток проходит по длинному прямому проводу, A указывает в том же направлении, что и провод.

В других калибрах формула для A и ϕ отличается; например, см. Кулоновскую калибровку для другой возможности.

1.4. Изображение поля А

Представляя векторный потенциал A магнитного поля кулоновской калибровки, плотность магнитного потока B и плотность тока Дж поля вокруг тороидального индуктора круглого сечения. Более толстые линии указывают линии поля с более высокой средней интенсивностью. Кружки в поперечном сечении сердечника обозначают поле B , выходящее за пределы изображения, знаки плюс обозначают поле B , входящее в изображение. 9B) — собственная работа, общественное достояние, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=19608361

См. Feynman ^[5] для изображения поля A вокруг длинного тонкого соленоид.

Начиная с

[math]\displaystyle{ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} }[/math]

в предположении квазистатических условий, т.е. B} \, }[/math]

линии и контуры A относятся к B так же, как линии и контуры B относятся к j . Таким образом, изображение поля A вокруг контура потока B (которое будет создаваться в тороидальном индукторе) качественно такое же, как поле B вокруг контура тока.

Рисунок справа представляет собой художественное изображение поля A . Более толстые линии указывают пути с более высокой средней интенсивностью (более короткие пути имеют более высокую интенсивность, так что интеграл пути тот же). Линии нарисованы, чтобы (эстетически) придать общий вид А — поле.

На чертеже неявно предполагается, что ∇ ⋅ A = 0, верно при одном из следующих предположений:

• Кулоновская калибровка предполагается
• предполагается калибровка Лоренца и нет распределения заряда, ρ = 0,
• предполагается манометр Лоренца и нулевая частота
• предполагается калибровка Лоренца и ненулевая частота, достаточно низкая, чтобы можно было пренебречь [math]\displaystyle{ \frac{1}{c}\frac{\partial\phi}{\partial t} }[/math] предполагается

1.5. Электромагнитный четырехпотенциальный

Главная страница: Физика: Электромагнитный четырехпотенциальный

В контексте специальной теории относительности естественно объединить магнитный векторный потенциал вместе с (скалярным) электрическим потенциалом в электромагнитный потенциал, также называемый четырехпотенциальным .

Одной из причин для этого является то, что 4-потенциал является математическим 4-вектором. Таким образом, используя стандартные правила четырехвекторного преобразования, если электрические и магнитные потенциалы известны в одной инерциальной системе отсчета, их можно просто вычислить в любой другой инерциальной системе отсчета. 9\mu A_\mu &= 0 \\ \Box A_\mu &= \frac{4\pi}{c} J_\mu \end{align} }[/math]

, где □ — д’Аламбериан, а J — четырехпоток. Первое уравнение представляет собой калибровочное условие Лоренца, а второе содержит уравнения Максвелла. Четырехпотенциал также играет очень важную роль в квантовой электродинамике.

2. Магнитный скалярный потенциал

Магнитный скалярный потенциал плоских цилиндрических магнитов, закодированный как цвет от положительного (фуксия) через ноль (желтый) до отрицательного (голубой). Автор Geek3 — собственная работа, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=82804692

Скалярный потенциал — еще одна полезная величина для описания магнитного поля, особенно для постоянных магнитов.

В односвязной области, где нет свободного тока,

[math]\displaystyle{ \nabla\times\mathbf{H} = 0, }[/math]

, следовательно, мы можем определить магнитный скалярный потенциал , ψ , как ^[6]

[math]\displaystyle{ \mathbf{H} = -\nabla\psi. }[/математика]

2 \psi = -\nabla\cdot\mathbf{H} = \nabla\cdot\mathbf{M}. }[/математика]

Здесь ∇ ⋅ M действует как источник магнитного поля, так же как ∇ ⋅ P действует как источник электрического поля. Таким образом, аналогично связанному электрическому заряду, количество

[math]\displaystyle{ \rho_m = -\nabla\cdot\mathbf{M} }[/math]

называется связанным магнитным зарядом .

При наличии свободного тока можно вычесть вклад свободного тока согласно закону Био–Савара из общего магнитного поля и решить остаток методом скалярного потенциала. На сегодняшний день не было никаких воспроизводимых доказательств существования магнитных монополей.