Период свободных колебаний в контуре равен т в некоторый момент времени энергия: Период свободных колебаний тока в контуре равен Т. В некоторый момент времени энергия электрического поля в конденсаторе равна нулю. Она снова будет равна нулю через минимальное время?

Закон сохранения энергии для колебательного контура и анализ графика колебаний

 

Вадим Муранов, победитель всероссийского конкурса «Учитель года», преподаватель физики с 24-летним опытом работы.

Всем добрый день! Рад приветствовать вас на нашем очередном уже 26-ом воскресном мастер-классе!

Тема нашего сегодняшнего мастер-класса «Колебания»

«Сила тока в идеальном колебательном контуре меняется со временем так, как показано на рисунке. Определите заряд конденсатора в момент времени 7 мкс.

Вместо таблицы в этой задаче график колебаний. Что можно определить по данному графику? Прежде всего, любой график колебаний – это зависимость некой величины (не важно какой) от времени. В данном случае, если мы внимательно посмотрим, увидим, что здесь синусоида

 

Первое, что определяется по графику – это промежуток по времени между двумя пиками или впадинами этого графика. И этот промежуток является периодом колебаний

Второе, что можно определить, – это максимальное значение величины, чей график изображен на рисунке. В данном случае это сила тока, поэтому по максимальной точке можно определить максимальное или амплитудное значение силы тока. Иными словами, верхняя точка графика – это амплитуда той величины, чей это график

Необходимо найти заряд на конденсаторе в момент времени t=7 мкс. Но моменту времени 7 мкс соответствует некое значение силы тока, которое мы можем легко определить по графику. Находим 7 мкс, опускаемся вниз, видим, что это соответствует силе тока

Сразу должен сказать, что этот минус нам ни о чем не говорит, это просто обозначает, что ток течет в другом направлении, поэтому минус для нас неважен. И сам заряд мы так же определим, это будет положительный ответ.

Можно по-разному находить этот заряд: можно составить уравнение заряда в зависимости заряда от времени, и с помощью него определить величину этого заряда, но мы поступим по-другому.

Вспомним, что в нашей задаче написано, что контур идеальный, а, на самом деле, все задачи, с которыми вы будете встречаться в школе, будут связаны с идеальными маятниками и идеальными колебательными контурами.

Для идеального колебательного контура выполняется следующая вещь: в любой момент времени суммарная энергия, сосредоточенная в этом контуре (в конденсаторе и в катушке), будет равна любой из максимальных, то есть максимальной энергии электрического поля или максимальной энергии магнитного поля

W_э + W_м = W_эм = W_Мм

Вот это равенство является законом сохранения энергии для идеального колебательного контура. Запомните это равенство, оно вам пригодится в грядущих событиях. Сейчас мы тоже это равенство применим, и даже не один раз.

Еще раз: суммарная энергия, запасенная в контуре, равна максимальным значениям энергии электрического поля конденсатора или максимальному значению энергии магнитного поля. В данном случае нам удобнее приравнять это к максимальной энергии магнитного поля, т. к. нам известна максимальная сила тока.

Запишем

и домножим это равенство на 2С, чтобы полностью убрать все знаменатели.

В итоге получаем

Замечаем, что произведение LC присутствует в формуле периода , знаменитая формула Томсона.

Отсюда выражаем произведение LC и получаем

Заменим LC на , но сначала выразим заряд в квадрате

А теперь вместо LC подставляем и получаем

Далее убираем квадрат у заряда

Теперь подставляем все известные значения и вычисляем по инженерному калькулятору

Получаем приблизительный ответ Кл. Теперь переводим это в микрокулоны 0,57 мкКл. Вот таким должен быть ответ!

Все видео по физике

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Закон сохранения энергии для колебательного контура и анализ графика колебаний» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.04.2023

Тест Вариант 11

Тест Вариант 11

Вариант 11

А1. После размыкания ключа К продолжительные колебания
тока возникают в схеме

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4

1234

А2.Когда ключ находится в положении 1

1) конденсатору сообщается энергия

2) энергия магнитного поля максимальна, энергия электрического поля равна
нулю

3) энергия электрического поля уменьшается

4) энергия электрического поля увеличивается, энергия магнитного поля уменьшается

1234

A3.Частота свободных колебаний равна v. В некоторый момент
времени энергия магнитного поля тока максимальна. Энергия электрического поля
будет наибольшей через минимальное время

1) v/4 2) v/2 3) 1/4v 4) 1/2v

1234

А4. Гармоническим колебаниям напряжения от времени соответствует
зави-симость

1234

А5. Изменение заряда конденсатора в колебательном контуре происходит по закону.
Амплитуда и период колебаний заряда равны

1) 10^-3 Кл, 0,2 с 2) 10 ^-3 Кл, 0,4 с

3) 10 ^-4 Кл, 0,2 с 4) 10 ^-4 Кл, 0,4 с

1234

А6.График зависимости силы тока от времени представлен на рисунке.
Частота колебаний равна

1) 4*10 ⁴ Гц 2) 2*10 ⁴ Гц

3) 0,5*10 ⁴ Гц 4) 0,25*10 ⁴ Гц

1234

А7. В колебательном контуре ток сдвинут по фазе относительно
заряда на

1234

А8. Период свободных колебаний в контуре с увеличением в девять раз емкости
конденсатора

1) увеличивается в девять раз 2) увеличивается в три раза

3) уменьшается в девять раз 4) уменьшается в три раза

1234

А9. Постепенное уменьшение электрической энергии в колебательном
контуре связано с наличием в нем

1) емкости 2) индуктивности

3) емкости и индуктивности 4) активного сопротивления

1234

А10. Рамка вращается в однородном магнитном поле с постоянной
угловой скоростью. Зависимости ЭДС индукции от времени оответствует график


1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4

1234

А11.Частота переменного тока в рамке, вращающейся в однородном
магнитном поле определяется

1) угловой скоростью вращения 2) площадью рамки

3) числом витков обмотки 4) 1, 2 и 3

1234

A12.Зависимости емкостного сопротивления Хс в цепи переменного
тока от частоты соответствует график

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4

1234

А13.Если в катушку ввести железный сердечник, то индуктивное
сопротивление

1) увеличится 2) уменьшится

3) не изменится 4) станет равным нулю

1234

А14. Если параллельно конденсатору включить еще один конденсатор, то общее
сопротивление цепи

1) увеличится 2) уменьшится

3) может увеличиться, может уменьшиться 4) не изменится

1234

A15.Действие генератора переменного тока основано на

1) создании магнитного поля движущимися зарядами

2) нагревании проводника при прохождении по нему электрического тока

3) явлении электромагнитной индукции

4) возникновении электромагнитного поля

1234

Введите свою фамилию:

15.2 Энергия в простом гармоническом движении

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Описывать сохранение энергии системы массы и пружины
• Объяснить концепции устойчивых и неустойчивых точек равновесия

Чтобы произвести деформацию объекта, мы должны совершить работу. То есть, дергаете ли вы струну гитары или сжимаете амортизатор автомобиля, сила должна действовать на расстоянии. Если единственным результатом является деформация и никакая работа не превращается в тепловую, звуковую или кинетическую энергию, то вся работа изначально хранится в деформированном объекте в виде некоторой формы потенциальной энергии.

Рассмотрим пример блока, прикрепленного к пружине на столе без трения, колеблющегося в СТМ. Сила пружины является консервативной силой (которую вы изучали в главе о потенциальной энергии и сохранении энергии), и мы можем определить для нее потенциальную энергию. Эта потенциальная энергия представляет собой энергию, запасенную в пружине, когда пружина растягивается или сжимается. В этом случае брусок колеблется в одном измерении с силой пружины, действующей параллельно движению:

9{2}[/latex] хранится весной. В СГМ системы масса-пружина диссипативные силы отсутствуют, поэтому полная энергия представляет собой сумму потенциальной энергии и кинетической энергии. В этом разделе мы рассмотрим сохранение энергии системы. Рассмотренные концепции справедливы для всех простых гармонических осцилляторов, в том числе и для тех, в которых играет роль гравитационная сила.

Рассмотрим (рисунок), на котором показан колеблющийся блок, прикрепленный к пружине. В случае незатухающего SHM энергия колеблется между кинетической и потенциальной, полностью переходя от одной формы энергии к другой по мере колебаний системы. Таким образом, для простого примера объекта на поверхности без трения, прикрепленной к пружине, движение начинается со всей энергии, запасенной в пружине, как упругая потенциальная энергия . Когда объект начинает двигаться, упругая потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию, становясь полностью кинетической энергией в положении равновесия. Затем энергия преобразуется пружиной обратно в упругую потенциальную энергию по мере ее растяжения или сжатия. Скорость становится равной нулю, когда кинетическая энергия полностью преобразуется, и затем этот цикл повторяется. Понимание сохранения энергии в этих циклах даст дополнительную информацию здесь и в более поздних применениях SHM, таких как переменные цепи. 9{2}. [/latex] Полная энергия системы постоянна.

Более пристальный взгляд на энергию системы показывает, что кинетическая энергия колеблется как функция квадрата синуса, а потенциальная энергия колеблется как функция квадрата косинуса. Однако полная энергия системы постоянна и пропорциональна квадрату амплитуды. (Рисунок) показывает график потенциальной, кинетической и полной энергии системы блока и пружины в зависимости от времени. Также на графике представлены положение и скорость как функция времени. До времени [латекс] t=0.0\,\text{с,} [/латекс] блок прикрепляют к пружине и ставят в положение равновесия. Над блоком совершается работа путем приложения внешней силы, вытягивающей его в положение [латекс] х=+А [/латекс]. Теперь система имеет потенциальную энергию, запасенную в пружине. В момент времени [латекс] t=0.00\,\text{с,} [/латекс] положение блока равно амплитуде, запасенная в пружине потенциальная энергия равна [латекс] U=\frac{1 {2}k{A}^{2} [/latex], а сила, действующая на блок, максимальна и указывает на минус x -направление [латекс] ({F}_{S}=\text{−}kA) [/латекс]. Скорость и кинетическая энергия блока равны нулю в момент времени [латекс] t=0.00\,\text{s}\text{.} [/latex] В момент времени [латекс] t=0.00\,\text{с,} [/latex] блок выходит из состояния покоя.

Рисунок 15.12 График кинетической энергии, потенциальной энергии и полной энергии блока, колеблющегося на пружине в СГМ. Также показаны графики зависимости положения от времени и скорости от времени. Полная энергия остается постоянной, но энергия колеблется между кинетической и потенциальной энергией. Когда кинетическая энергия максимальна, потенциальная энергия равна нулю. Это происходит, когда скорость максимальна, а масса находится в положении равновесия. Потенциальная энергия максимальна, когда скорость равна нулю. Полная энергия представляет собой сумму кинетической энергии плюс потенциальная энергия, и она постоянна.

Колебания около положения равновесия

Мы только что рассмотрели энергию СГМ как функцию времени. Другой интересный взгляд на простой гармонический осциллятор состоит в том, чтобы рассматривать энергию как функцию положения. (Рисунок) показывает график зависимости энергии от положения системы, подвергающейся СГМ.

Рисунок 15.13 График кинетической энергии (красный), потенциальной энергии (синий) и полной энергии (зеленый) простого гармонического осциллятора. Сила равна [латекс] F=-\frac{dU}{dx} [/латекс]. Положение равновесия показано черной точкой и представляет собой точку, в которой сила равна нулю. Сила положительна, когда [латекс] x<0 [/латекс], отрицательна, когда [латекс] х>0 [/латекс], и равна нулю, когда [латекс] х=0 [/латекс].

Кривая потенциальной энергии на (рис.) напоминает чашу. Когда шарик помещают в чашу, он достигает положения равновесия в самой нижней точке чаши [латекс] (х=0) [/латекс]. Это происходит потому, что возвращающая сила направлена ​​в сторону точки равновесия. Эту точку равновесия иногда называют фиксированной точкой . Когда шарик перемещается в другое положение [латекс] (x=+A) [/латекс], шарик колеблется вокруг положения равновесия. Оглядываясь назад на график потенциальной энергии, силу можно найти, посмотрев на наклон графика потенциальной энергии [латекс] (F=-\frac{dU}{dx}) [/латекс]. Поскольку сила по обе стороны от неподвижной точки направлена ​​обратно к точке равновесия, точка равновесия называется устойчивая точка равновесия . Точки [latex] x=A [/latex] и [latex] x=\text{−}A [/latex] называются точками поворота. (См. «Потенциальная энергия» и «Сохранение энергии».)

Стабильность — важная концепция. Если точка равновесия устойчива, небольшое возмущение объекта, который изначально находится в точке устойчивого равновесия, заставит объект колебаться вокруг этой точки. Точка устойчивого равновесия возникает потому, что к ней направлена ​​сила с обеих сторон. Для неустойчивой точки равновесия, если объект слегка потревожить, он не возвращается в точку равновесия.

Рассмотрим пример с мрамором в чаше. Если чаша находится правильной стороной вверх, шарик, если его слегка поколебать, будет колебаться вокруг точки стабильного равновесия. Если чашу перевернуть вверх дном, шарик можно уравновесить сверху, в точке равновесия, где результирующая сила равна нулю. Однако, если шарик слегка потревожить, он не вернется в точку равновесия, а вместо этого скатится с чаши. Причина в том, что сила по обе стороны от точки равновесия направлена ​​от этой точки. Эта точка является неустойчивой точкой равновесия.

(рисунок) показывает три состояния. Первая представляет собой устойчивую точку равновесия (а), вторая — неустойчивую точку равновесия (б), а последняя — также неустойчивую точку равновесия (в), поскольку сила только с одной стороны направлена ​​в сторону точки равновесия.

Рисунок 15.14 Примеры точек равновесия. а) точка устойчивого равновесия; (б) неустойчивая точка равновесия; в) точка неустойчивого равновесия (иногда называемая точкой полуустойчивого равновесия).

Процесс определения того, является ли точка равновесия устойчивой или нестабильной, можно формализовать. Рассмотрим кривые потенциальной энергии, показанные на (рис. ). Силу можно найти, анализируя наклон графика. Сила равна [латекс] F=-\frac{dU}{dx}. [/latex] В (a) фиксированная точка находится в точке [латекс] x=0,00\,\text{m}\text{.} [/latex] Когда [латекс] x<0,00\,\text{m, } [/latex] сила положительна. Когда [латекс] х>0,00\,\текст{м,} [/латекс] сила отрицательна. Это стабильная точка. В (b) фиксированная точка находится в точке [латекс] x=0,00\,\text{m}\text{.} [/latex]. Когда [латекс] x<0,00\,\text{m,} [/latex ] сила отрицательна. Когда [латекс] х>0,00\,\текст{м,} [/латекс] сила также отрицательна. Это нестабильная точка.

Рисунок 15.15 Два примера функции потенциальной энергии. Сила в положении равна отрицательному наклону графика в этом положении. (а) Функция потенциальной энергии с устойчивой точкой равновесия. (b) Функция потенциальной энергии с неустойчивой точкой равновесия. Эту точку иногда называют полуустойчивой, потому что сила с одной стороны направлена ​​в сторону неподвижной точки.

Практическое применение концепции устойчивых точек равновесия — сила между двумя нейтральными атомами в молекуле. Если две молекулы находятся в непосредственной близости друг от друга на расстоянии нескольких атомных диаметров, они могут испытывать силу притяжения. Если молекулы движутся достаточно близко, так что электронные оболочки других электронов перекрываются, сила между молекулами становится отталкивающей. Сила притяжения между двумя атомами может привести к тому, что атомы образуют молекулу. Сила между двумя молекулами не является линейной силой и не может быть смоделирована просто как две массы, разделенные пружиной, но атомы молекулы могут колебаться вокруг точки равновесия при небольшом смещении от положения равновесия. Атомы колеблются из-за силы притяжения и силы отталкивания между двумя атомами. 9{6}]. [/latex]

График этой функции показан на (Рисунок). Два параметра [латекс]\эпсилон[/латекс] и [латекс]\сигма[/латекс] находятся экспериментально.

Рис. 15.16 Функция потенциальной энергии Леннарда-Джонса для системы двух нейтральных атомов. Если энергия ниже некоторой максимальной энергии, система колеблется вблизи положения равновесия между двумя точками поворота.

На графике видно, что имеется яма потенциальной энергии, которая имеет некоторое сходство с ямой потенциальной энергии функции потенциальной энергии простого гармонического осциллятора, обсуждаемой на (рис.). Потенциал Леннарда-Джонса имеет устойчивую точку равновесия, в которой потенциальная энергия минимальна, а сила по обе стороны от точки равновесия направлена ​​к точке равновесия. Обратите внимание, что в отличие от простого гармонического осциллятора потенциальная яма потенциала Леннарда-Джонса не симметрична. Это связано с тем, что сила между атомами не является силой закона Гука и не является линейной. Атомы все еще могут колебаться вокруг положения равновесия [латекс] {x}_{\text{мин}} [/латекс], потому что, когда [латекс] х<{х}_{\текст{мин}} [/латекс], сила положительная; когда [латекс] х>{х}_{\текст{мин}} [/латекс], сила отрицательна. Обратите внимание, что как x приближается к нулю, наклон довольно крутой и отрицательный, значит, сила большая и положительная. Это говорит о том, что требуется большая сила, чтобы попытаться сблизить атомы. По мере того, как x становится все больше, наклон становится менее крутым, а сила меньше и отрицательна. Это говорит о том, что при достаточно большой энергии атомы можно разделить.

Если вас интересует это взаимодействие, найдите силу между молекулами, взяв производную функции потенциальной энергии. Вы сразу увидите, что сила не похожа на силу закона Гука [латекс] (F=\text{−}kx) [/латекс], но если вы знакомы с биномиальной теоремой: 9{3}+\cdots , [/latex]

сила может быть аппроксимирована силой закона Гука.

Скорость и сохранение энергии

Возвращаясь к системе блока и пружины (рисунок), после выхода блока из состояния покоя он начинает двигаться в отрицательном направлении к положению равновесия. Потенциальная энергия уменьшается, а величина скорости и кинетическая энергия увеличиваются. В момент времени [latex] t=T\text{/}4 [/latex] блок достигает положения равновесия [latex] x=0. {2} [/латекс ]. При колебаниях полная энергия постоянна и равна сумме потенциальной энергии и кинетической энергии системы, 9{2})}. [/latex]

Энергия в простом гармоническом осцилляторе пропорциональна квадрату амплитуды. При рассмотрении многих форм колебаний вы обнаружите, что энергия пропорциональна квадрату амплитуды.

Проверьте свое понимание

Почему будет больнее, если вы сломаете руку линейкой, чем ослабленной пружиной, даже если смещение каждой системы одинаково?

Показать решение

Проверьте свое понимание

Определите, как можно уменьшить максимальную скорость простого гармонического осциллятора.

Показать решение

Резюме

• Простейший тип колебаний относится к системам, которые могут быть описаны законом Гука, F = − kx , где F – возвращающая сила, x – смещение от положения равновесия или деформации, а k — силовая постоянная системы. {2}. [/латекс] 9{2})}. [/латекс]

Концептуальные вопросы

Опишите систему, в которой запасается упругая потенциальная энергия.

Показать решение

Объясните с точки зрения энергии, как диссипативные силы, такие как трение, уменьшают амплитуду гармонического осциллятора. Также объясните, как приводной механизм может компенсировать. (Такой системой являются маятниковые часы.)

Температура атмосферы колеблется от максимума около полудня до минимума перед восходом солнца. Считаете ли вы, что атмосфера находится в устойчивом или неустойчивом равновесии?

Показать решение

Проблемы

Рыбу подвешивают на весах для определения их массы. а) Какова постоянная силы пружины в таком масштабе, если пружина растягивается на 8,00 см при нагрузке 10,0 кг? б) Какова масса рыбы, растянувшей пружину на 5,50 см? в) Какое расстояние между полукилограммовыми отметками на весах?

Пришло время взвешивания местной команды по регби до 85 кг. Ванные весы, используемые для оценки соответствия критериям, описываются законом Гука, и их максимальная нагрузка в 120 кг опускается на 0,75 см. а) Какова постоянная эффективной силы пружины? б) Игрок встает на весы и опускает их на 0,48 см. Имеет ли он право играть в этой команде до 85 кг?

Показать решение

В одном типе пневматического оружия используется поршень с пружинным приводом для выдувания пули из ствола. (a) Рассчитайте силовую постоянную пружины его поршня, если вы должны сжать ее на 0,150 м, чтобы привести поршень массой 0,0500 кг к максимальной скорости 20,0 м/с. б) Какую силу надо приложить, чтобы сжать пружину?

Когда человек массой 80,0 кг стоит на пого-стике, пружина сжимается на 0,120 м. а) Чему равна постоянная силы пружины? б) Будет ли пружина сжата сильнее, когда он будет прыгать по дороге? 9{4}\,\text{Н/м} [/латекс]. (a) Какова частота, с которой он отскакивает, учитывая его массу плюс и массу его снаряжения 90,0 кг? (b) Насколько растянется эта веревка, чтобы предотвратить падение альпиниста, если он пролетит 2,00 м в свободном падении до того, как веревка натянется? ( Подсказка: Используйте закон сохранения энергии. ) (c) Повторите обе части этой задачи в ситуации, когда используется нейлоновая веревка вдвое большей длины.

Показать решение

Глоссарий

упругая потенциальная энергия

потенциальная энергия, накопленная в результате деформации упругого объекта, например растяжения пружины

восстанавливающая сила

сила, действующая в противовес силе, вызванной деформацией

устойчивая точка равновесия

точка, в которой результирующая сила, действующая на систему, равна нулю, но небольшое смещение массы вызовет восстанавливающую силу, направленную к точке равновесия

Период, частота и амплитуда: определение и примеры

Чтобы понять вселенную, вы должны понять, что все можно описать волнами, от самых сложных вещей до повседневных вещей, таких как цвет объектов, которые мы наблюдаем. Когда свет проходит через призму, он разделяется на разные компоненты, которые мы воспринимаем как цвета. Каждый из этих цветов можно идентифицировать по его уникальной частоте. Цвет может иметь разную интенсивность, так как интенсивность цвета связана с амплитудой волны. Это означает, что могут быть две волны с одинаковой частотой, но с разными амплитудами. В этой статье мы узнаем об амплитуде, частоте и периоде колебаний, а также поймем взаимосвязь между ними.

Спектр видимого света, отображающий разные цвета, можно идентифицировать по их уникальной частоте и периоду. Мы видим обратную зависимость между частотой и периодом. Чем ниже частота, тем больше период и наоборот, Wikimedia Commons, DrSciComm (CC BY-SA 3.0)

Период, частота и амплитуда: определения

Период, частота и амплитуда являются важными свойствами волн. Как мы упоминали ранее, амплитуда связана с энергией волны.

Амплитуда — максимальное смещение от положения равновесия при колебании.

Период — это время, необходимое для одного цикла колебаний. Частота определяется как величина, обратная периоду. Это относится к тому, сколько циклов он завершает за определенный промежуток времени.

Период — это время, необходимое для одного цикла колебаний.

Частота описывает, сколько циклов колебаний система совершает за определенный промежуток времени.

Например, большой период подразумевает маленькую частоту.

$$f=\frac1T$$

Где \(f\) — частота в герцах, \(\mathrm{Hz}\), а \(T\) — период в секундах, \(\матрм с\).

Период, частота и амплитуда: примеры

Чтобы визуализировать эти концепции экспериментально, представьте, что вы и ваш друг берете веревку за концы и трясете ее вверх и вниз, создавая волну, которая проходит через веревку. Допустим, за одну секунду веревка совершила два оборота. Частота волны будет \(2\;\frac{\mathrm{cycles}}{\mathrm s}\). Период будет обратным частоте, поэтому период волны будет составлять полсекунды, а это означает, что для завершения одного цикла колебаний потребуется полсекунды.

Студент, наблюдающий за колеблющимся блоком, считает \(45,5\;{\textstyle\frac{\mathrm{циклы}}\мин}\). Определить его частоту и период.

$ $ f = 45,5 \; {\ textstyle \ frac {\ mathrm {циклы}} \ min} \ times \ frac1 {60} {\ textstyle \ frac \ min {\ mathrm s}} = 0,758 \; {\ textstyle\frac{\mathrm{циклы}}{\mathrm s}}$$

$$f=0,758\;\mathrm{Гц}$$

$$T=\frac1f=\frac1{0,758\;\ mathrm{Hz}}=1.32\;\mathrm s$$

Период колебаний объекта в простом гармоническом движении связан с угловая частота движения объекта. Выражение для угловой частоты будет зависеть от типа объекта, который совершает простое гармоническое движение.

$$\omega=2\pi f$$

$$T=\frac{2\pi}\omega$$

Где \(\omega\) — угловая частота в радианах в секунду, \( \ гидроразрыва {\ mathrm {рад}} {\ mathrm s} \).

Двумя наиболее распространенными способами доказать это являются эксперименты с маятником и грузом на пружине.

период пружины задается уравнением ниже.

$$T_s=2\pi\sqrt{\frac mk}$$

Где \(m\) — масса объекта на конце пружины в килограммах, \(\mathrm{kg}\) , а \(k\) — жесткость пружины, которая измеряет жесткость пружины в ньютонах на метр, \(\frac{\mathrm N}{\mathrm m}\).

Блок массы \(m=2,0\;\mathrm{kg}\) прикреплен к пружине, жесткость которой равна \(300\;{\textstyle\frac{\mathrm N}{\mathrm m}} \). Вычислите частоту и период колебаний этой пружинно-блочной системы.

$ $ T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac mk} = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {2,0 \; \ mathrm {kg}} {300 \ frac {\ mathrm N} {\ mathrm m}} }=0,51\;\mathrm s$$

$$f=\frac1T=\frac1{0,51\;\mathrm s}=1,9\;\mathrm{Гц}$$

Период простого маятника смещенный на малый угол определяется уравнением ниже.

$$T_p=2\pi\sqrt{\frac lg}$$

Где \(l\) — длина маятника в метрах, \(\mathrm m\) и \(\mathrm g\ ) — ускорение свободного падения в метрах на секунду в квадрате (\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\).

Связь между периодом, частотой и амплитудой

Период, частота и амплитуда взаимосвязаны в том смысле, что все они необходимы для точного описания колебательного движения системы. Как мы увидим в следующем разделе, эти величины входят в тригонометрическое уравнение, описывающее положение колеблющейся массы. Важно отметить, что на амплитуду не влияет период или частота волны.

Легко увидеть взаимосвязь между периодом, частотой и амплитудой на графике зависимости положения от времени. Чтобы найти амплитуду по графику, мы наносим положение объекта в простом гармоническом движении как функцию времени. Мы ищем пиковые значения расстояния, чтобы найти амплитуду. Чтобы найти частоту, нам сначала нужно получить период цикла. Для этого находим время, необходимое для совершения одного цикла колебаний. Это можно сделать, посмотрев на время между двумя последовательными пиками или впадинами. После того, как мы найдем период, мы возьмем его инверсию, чтобы определить частоту.

Смещение как функция времени для простого гармонического движения для иллюстрации амплитуды и периода. Расстояние от \(x=0\) до \(x=a\) — это амплитуда, а время от \(t=0\) до \(t=t\) — это период, StudySmarter Originals

Period, Частота и амплитуда тригонометрических функций

Тригонометрические функции используются для моделирования волн и колебаний. Это потому, что колебания имеют периодичность, поэтому они связаны с геометрической формой круга. Функции косинуса и синуса определяются на основе окружности, поэтому мы используем эти уравнения для нахождения амплитуды и периода тригонометрической функции.

$$y=a\;c\mathrm{os}\left(bx\right)$$

Амплитуда будет определяться величиной \(a\).

$$\mathrm{Amplitude}=\left|a\right|$$

Период будет задан уравнением ниже.

$$\mathrm{Period}=\frac{2\pi}{\left|b\right|}$$

Дано выражение для положения объекта в простом гармоническом движении от времени следующим уравнением.

$$x=A\cos\left(\frac{2\pi t}T\right)$$

Где \(A\) — амплитуда в метрах, \(\mathrm m\) и \ (t\) — время в секундах, \(\mathrm s\).