Координата точки: Как найти Координаты Точки? Примеры

Как найти Координаты Точки? Примеры

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

106.4K

Современные технологии позволяют в несколько кликов поделиться с другом нашим месторасположением. Достаточно зайти в гугл карты и пошерить координаты точки. В этом материале узнаем, как такое же действие отобразить на бумаге.

Понятие системы координат

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты вашей квартиры тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится тот дом, где вы живете. С точками на плоскости та же история.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.

• Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
• Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
• Ось ординат Oy — вертикальная ось.
• Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
• Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

• верхний правый угол — первая четверть I;
• верхний левый угол — вторая четверть II;
• нижний левый угол — третья четверть III;
• нижний правый угол — четвертая четверть IV;

Правила координат:

• Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
• Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
• Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
• Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Определение координат точки

Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Точка пересечения с осью Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.

Чтобы узнать координаты точки на плоскости, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра.

Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).

Особые случаи расположения точек

В геометрии есть несколько особых случаев расположения точек. Лучше их запомнить, чтобы без запинки решать задачки. Вот они:

 

1. Если точка лежит на оси Oy, то ее абсцисса равна 0. Например,
   точка С (0, 2).
2. Если точка лежит на оси Ox, то ее ордината равна 0. Например,
   точка F (3, 0).
3. Начало координат — точка O. Ее координаты равны нулю: O (0,0).
4. Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
5. Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
6. Если точка лежит на оси абсцисс, то ее координаты будут иметь вид: (x, 0).
7. Если точка лежит на оси ординат, то ее координаты будут иметь вид: (0, y).

Способы нахождения точки по её координатам

Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.

Способ первый. Как определить положение точки D по её координатам (-4, 2):

 

1. Отметить на оси Ox, точку с координатой -4, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Ox.
2. Отметить на оси Oy, точку с координатой 2, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Oy.
3. Точка пересечения перпендикуляров и есть искомая точка D. Ее абсцисса равна -4, а ордината — 2.

Способ второй. Как определить положение точки D (-4, 2):

 

1. Сместить прямую по оси Ox влево на 4 единицы, так как у нас
   перед 4 стоит знак минус.
2. Подняться из этой точки параллельно оси Oy вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит знак плюс.

Чтобы легко и быстро находить координаты точек или строить точки по координатам, скачайте готовую систему координат и храните ее в учебнике:

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

133.2K

Что такое функция?

К следующей статье

Как умножать отрицательные числа

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

§ Как найти координаты точки.

Как записать координаты точек

Оси координат. Координатные четверти
Как найти и записать координаты точки

Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Координаты точки на плоскости — это пара чисел, в которой на
первом месте стоит
абсцисса, а на
втором —
ордината точки.

Рассмотрим как в системе координат (на координатной плоскости):

• находить координаты точки;
• найти положение точки.

Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно опустить из этой точки
перпендикуляры на оси координат.

Точка пересечения с осью «x» называется абсциссой точки «А»,
а с осью y называется ординатой точки «А».

Обозначают координаты точки, как указано выше (·) A (2; 3).

Пример (·) A (2; 3) и (·) B (3; 2).

Запомните!

На первом месте записывают абсциссу (координату по оси «x»), а на втором —
ординату (координату по оси «y») точки.

Особые случаи расположения точек

1. Если точка лежит на оси «Oy»,
   то её абсцисса равна 0. Например,
   точка С (0, 2).
2. Если точка лежит на оси «Ox», то её ордината равна 0.
   Например,
   точка F (3, 0).
3. Начало координат — точка O имеет координаты, равные нулю O (0,0).
4. Точки любой прямой перпендикулярной оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
5. Точки любой прямой перпендикулярной оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
6. Координаты любой точки, лежащей на оси абсцисс имеют вид (x, 0).
7. Координаты любой точки, лежащей на оси ординат имеют вид (0, y).

Найти точку в системе координат можно двумя способами.

Первый способ

Чтобы определить положение точки по её координатам,
например, точки D (−4 , 2), надо:

1. Отметить на оси «Ox», точку с координатой
   «−4», и провести через неё прямую перпендикулярную оси «Ox».
2. Отметить на оси «Oy»,
   точку с координатой 2, и провести через неё прямую перпендикулярную
   оси «Oy».
3. Точка пересечения перпендикуляров (·) D — искомая точка.
   У неё абсцисса равна «−4», а ордината равна 2.

Второй способ

Чтобы найти точку D (−4 , 2) надо:

1. Сместиться по оси «x» влево на
   4 единицы, так как у нас
   перед 4
   стоит «−».
2. Подняться из этой точки параллельно оси y вверх на 2 единицы, так
   как у нас перед 2 стоит «+».

Чтобы быстрее и удобнее было находить координаты точек или строить точки по координатам на
листе формата A4 в клеточку, можно скачать и использовать
готовую систему координат на нашем сайте.

Оси координат. Координатные четверти
Как найти и записать координаты точки

---

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Отправить

---

Что такое координаты в математике? Определение, примеры, факты

Координаты: введение

Координаты — это упорядоченные пары точек, которые помогают нам найти любую точку в 2D-плоскости или 3D-пространстве. Возможно, вы видели, как сетки используются в математике. Что это за сетки? Эти сетки помогают нам построить любую точку, используя ее координаты. Итак, что такое координаты в математике? Давайте посмотрим, что означают координаты в математике.

Координаты точки на 2D-плоскости, также известные как декартовы координаты, представляют собой два числа или иногда комбинацию буквы и цифры, которые сообщают нам точное местоположение определенной точки на сетке. Здесь сетка известна как координатная плоскость.

Координатная плоскость имеет четыре квадранта и две оси: ось X является горизонтальной осью, а ось Y является вертикальной осью.

Родственные игры

Что такое координаты в математике?

Давайте разберемся с определением координат в математике.

Координаты — это пара чисел, которые используются для определения положения точки или фигуры в двухмерной плоскости.

Мы определяем положение точки на двумерной плоскости с помощью двух чисел, называемых координатой x и координатой y. Координата x всегда идет первой в упорядоченной паре, за которой следует координата y, и она определяет, где находится точка в левом-правом или горизонтальном направлении, а координата y определяет положение точки по вертикали, вверх-вниз. направление вниз.

Упорядоченная пара

Итак, как вы записываете координаты? Декартовы координаты точки обычно записываются в круглых скобках и разделяются запятыми, например (x, y). Обратите внимание, что порядок имеет значение при записи координат точки.

Координаты записываются в виде «упорядоченной пары», как показано ниже. Буква P — это просто название точки и используется, чтобы отличить ее от других.

Давайте посмотрим на примеры координат.

Пример 1: Точка, в которой пересекаются обе оси, называется исходной точкой.

Координаты начала координат записываются как O(0, 0).

Пример 2: На рисунке ниже координаты точки А (3,4). Это означает, что точка находится на расстоянии 3 единицы по оси x и 4 единицы вверх.

Пример 3: Координаты точки по оси X и оси Y.

Для точки, лежащей на оси X, координата y равна 0. Для точки на оси Y координата x равна 0.

Типы координат

У нас есть два основных типа систем координат, перечисленных ниже.

• Декартова система координат

Декартова система координат помогает однозначно представить точку в n-мерной координатной плоскости. Как указано выше, он использует концепцию взаимно перпендикулярных линий, известных как оси, для обозначения координат точки. Чтобы определить положение точки P на плоскости с помощью двух перпендикулярных линий, обычно используется декартова плоскость. Точки представлены в виде координат P(x, y) в двух измерениях относительно оси x и оси y.

• Полярная система координат

В полярной системе координат началом считается точка отсчета, называемая полюсом. Положение каждой точки определяется расстоянием от полюса, а угол берется от опорного направления.

Здесь мы выражаем координаты точки как $(r, θ)$. Проще говоря, у нас есть два параметра — угол и радиус.

Координата r — это длина отрезка прямой от точки (x, y) до начала координат, а координата θ — это угол между отрезком прямой и положительной осью x. 92$ и $tan \theta = \frac{y}{x}$

Координаты на плоскости (2D)

Двумерная координатная плоскость образована пересечением осей x и y. Две оси пересекаются в точке O (0, 0), называемой началом координат.

Координаты указывают положение точки в 2D-координатной плоскости относительно начала координат. Координата x точки — это ее перпендикулярное расстояние от оси y, измеренное вдоль оси x. Y-координата точки — это ее перпендикулярное расстояние от оси x, измеренное вдоль оси y.

Координаты записываются в виде упорядоченной пары чисел P(x, y), где P — название точки, x — положение по горизонтали, а y — положение по вертикали.

Например, точка P(3, 5) представлена ​​как

Квадранты в 2D-плоскости

В 2D-плоскости в основном есть 4 квадранта, образованных из-за пересечения осей x и y. Иногда их называют римскими цифрами: I, II, III и IV.

Вы можете задаться вопросом, меняются ли правила координат в зависимости от квадрантов или как они записываются в разных квадрантах. Давай выясним.

Квадрант 1: верхний правый квадрант.

Здесь обе координаты имеют положительные значения. Например, P(3, 5), U(8, 4).

Квадрант 2:

Здесь координата x имеет отрицательные значения, а координата y имеет положительные значения. Например, P$(-3, 5)$, U$(-8, 4)$.

Квадрант 3:

Здесь обе координаты имеют отрицательные значения. Например, P$(-3,-5)$, U$(-8,-4)$.

Квадрант 4:

Здесь координата x имеет положительные значения, а координата y имеет отрицательные значения. Например, P$(3, -5)$, U$(-8, 4)$.

Координата в пространстве (3D)

Трехмерная система координат может использоваться для определения положения точки в трехмерном пространстве. Трехмерная координатная плоскость образована пересечением трех осей, а именно оси x, оси y и оси z, которые перпендикулярны друг другу в начале координат.

Ось Z можно визуализировать как продолжение двумерной координатной плоскости. Учитывая, что оси x и y являются горизонтальной и вертикальной осями на странице, ось z можно визуализировать как выходящую из страницы или проходящую через страницу, создавая третье измерение.

Положение точки в 3D-координатной плоскости очень похоже на положение точки в 2D-координатной плоскости с добавленной координатой z: (x, y, z).

Как читать и наносить координаты

Координаты всегда записываются в квадратных скобках, причем два числа разделяются запятой (,). Координаты представляют собой упорядоченные пары чисел. Первое число указывает точку на оси X (также известную как абсцисса), а второе — точку на оси Y (также известную как ордината).

Давайте разберемся, как нанести точку на координатную плоскость на примере.

Пример: Постройте $(2,3), (3,-2)$ и $(-3,1)$

Сначала отметьте координату x или горизонтальное расстояние вдоль оси x, а затем отметьте расстояние по вертикали с использованием координаты y.

Факты

Координаты имеют важное значение на картах. Часто карты используют букву в качестве одной из координат для определения местоположения точки и используют цифру для другой точки. Координаты на карте указаны ниже.

• Координата x точки также известна как «абсцисса». Произносится как «аб-сисс-ах» (буква «с» не произносится). Чаще всего используется термин «координата x».

• Координата Y также называется «ординатой». Вы можете произнести это как «ORD-inet». Термин «координата Y» является предпочтительным.

Заключение

В этой статье мы узнали о координатах точки, их представлении, построении точки на декартовой плоскости вместе с двумя типами координат.

Решенные примеры

1. Нанесите заданную точку на график: P(2, 5).

Решение:

Поскольку оба значения x и y положительны, точка лежит в 1-м квадранте.

Точка находится на 2 единицы вправо от начала координат по оси X и на 5 единиц вверх.

Заданную точку на графике можно изобразить как-

2. Нанести данную точку на график: P $(-3,4)$ .

Решение:

Поскольку значение x положительное, а y отрицательное, значит, точка лежит в третьем квадранте. Данную точку на графике можно изобразить следующим образом:

3. Нанесите данную точку на график: P $(3, -2)$ и определите, в каком квадранте она находится.

Решение:

Поскольку оба значения x и y отрицательны, точка находится в 3-м квадранте. Данную точку на графике можно изобразить как:

4. Найдите соответствующие декартовы координаты, если полярные координаты точки равны 9\circ$

$x = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$ и $y = 2 (\frac{1}{2})$

$x = \sqrt{3} $ и $y = 1$

Декартовы координаты равны $(\sqrt{3},1)$.

5. Нанесите данную точку на график: P(4, 4)

Решение:

Поскольку оба значения x и y положительны, точка лежит в 1-м квадранте. Данную точку на графике можно изобразить следующим образом:

Практические задачи

1

Определите квадрант, в котором находится точка P$(-5, -5)$.

I

II

III

IV

Правильный ответ: III
Поскольку оба значения x и y отрицательны, точка лежит в 3-м квадранте.

2

Что такое «ордината» в (5, 8)?

5

8

13

Правильный ответ: 8
Координата Y известна как ордината. В упорядоченной паре $(5, 8) 5$ — это абсцисса, а 8 — это ордината.

3

Какая из следующих точек лежит на оси Y? $(0, 4), (0, 2)$ и $(0,-3)$.

$(0, -3)$

$(0, 4)$

Все

Нет

Правильный ответ: Все
Координата x всех точек равна 0. Итак, все точки лежат по оси Y.

4

Точки $(-1, 0), (2, 0)$ и $(5, 0)$ лежат на $ \underline{}$ .

ось x

ось y

обе оси

линия x $=$ y

Правильный ответ: ось x
Координата y всех точек равна 0. Итак, все точки лежат на оси x.

5

Точки $(7, 8), (3, 6)$ и $(8, 2)$ лежат в квадранте$\underline{}$.

I

II

III

IV

Правильный ответ: I
Точки $(7, 8), (3, 6)$ и $(8, 2)$ имеют положительные координаты. Итак, точки лежат в первом квадранте.

Часто задаваемые вопросы

Что такое формула расстояния?

Формула расстояния используется для расчета расстояния между двумя точками.

Пусть это будут две точки A и B с координатами (x ₁ , y ₁ ) и (x ₂ , y ₂ ) соответственно.

Таким образом, расстояние между двумя точками определяется как:

Кто изобрел декартову плоскость?

Рене Декарт впервые опубликовал систему координат в семнадцатом веке.

Что такое широта и долгота в координатах?

Координаты представлены в виде упорядоченной пары двух чисел. Первое число — это широта, а второе — долгота.

Какие существуют три типа систем координат?

Три типа координат: декартовы, полярные и цилиндрические.

Для чего используются декартовы координаты?

Координаты x и y помогают нам найти любую точку на осях координат, найти расстояние между двумя точками, а также найти наклон линии.

Точки и координаты

Каждой точке в пространстве можно присвоить три числа относительно начальной точки. Эти три числа позволяют нам отличить любую точку от любой другой точки в пространстве. К счастью для вас, мы имеем дело не с тремя измерениями, а только с двумя.

• Координаты точки:  Каждой точке на числовой прямой присваивается номер. Точно так же каждой точке на плоскости ставится в соответствие пара чисел.

• Ось x и ось Y:  Для определения местоположения точек на плоскости используются две перпендикулярные линии: горизонтальная линия, называемая осью x , и вертикальная линия, называемая осью y .

• Происхождение:  Точка пересечения  x — ось и y — ось.

• Координатная плоскость: — ось x , ось y и все точки на плоскости, которые они определяют.

• Упорядоченные пары:  Каждая точка на координатной плоскости называется парой чисел, порядок которых важен; эти числа записываются в круглых скобках и разделяются запятой.

• x ‐координата : Число слева от запятой в упорядоченной паре – это x – координата точки и указывает величину перемещения по оси x от начала координат. Движение происходит вправо, если число положительное, и влево, если число отрицательное.

• y -координата : Число справа от запятой в упорядоченной паре представляет собой y -координату точки и указывает величину перемещения перпендикулярно оси x . Движение выше 9Ось 0347 x , если число положительное, и ниже оси x , если число отрицательное.

Примечание. Координаты [упорядоченная пара] для начала координат (0, 0).

Ось x и ось y разделяют координатную плоскость на четыре области, называемые квадрантами .  (См. рис. 1.) Верхний правый квадрант — это квадрант 1; верхний левый квадрант — это квадрант II; нижний левый квадрант — это квадрант III; а нижний правый квадрант — это квадрант IV. Обратите внимание на следующее:

Рисунок 1 Оси координат делят плоскость на четыре квадранта.

• В квадранте I x всегда положительно, а y всегда положительно.

• В квадранте II x всегда отрицательно, а y всегда положительно.

• В квадранте III x всегда отрицательно, а y всегда отрицательно.

• В квадранте IV, x всегда положительное значение, а y всегда отрицательное значение.

Точка, связанная с упорядоченной парой действительных чисел, называется графом  упорядоченной пары.

Пример 1:  Определите точки A, B, C, D, E,  и F  на координатной диаграмме на рисунке.