Как найти точку на отрезке по координатам: алгоритм — Как найти точку на отрезке?

алгоритм — Как найти точку на отрезке?

Вопрос задан
7 лет 2 месяца назад

Изменён
3 года 1 месяц назад

Просмотрен
16k раз

У меня есть отрезок с известными координатами концов. На этом отрезке есть точка. Я знаю расстояние от начала отрезка до этой точки. Мне надо найти координаты этой точки. Как найти эти координаты?

Пример: Есть 2 точки А(3,3) и В(6,4). Длина отрезка примерно 3,16. И есть точка С(?,?) на отрезке. Как найти координаты, если от А до С =1,8 ???

• алгоритм
• геометрия

4

Имеется отрезок AB с координатами A(Xa, Ya) и B(Xb, Yb).
Требуется найти координаты точки C(Xc, Yc), лежащей на отрезке AB на расстоянии Rac от точки A. 2.
f / n — деление f на n, в нашем случае f будет Rac и n будет Rab.
f * n — умножение f на n, в нашем случае (первом) f будет Xb - Xa и n будет k.

2

Алгоритм без кода (довольно элементарный):

Имеем:
Две точки A, B; len — расстояние от точки А до требуемой точки C

full_len = |B - A| // длина вектора, соединяющего две точки == длина отрезка
C = A + (B - A) * (len / full_len)

Сложение векторов и умножение на число — очевидные операции.

8

nodet — точка конец вектора, в твоем случае точка b
nodef — точка начало вектора, в твоем случае точка a

dx = nodet. x - nodef.x 
dy = nodet.y - nodef.y 
dz = nodet.z - nodef.z
r = math.sqrt(dx ** 2 + dy ** 2 + dz ** 2) 
xx = dx * (step/r) 
yy = dy * (step /r)
zz = dz * (step /r)
newnode = node(nodef.x + xx,nodef.y + yy,nodef.z + zz)

newnode — новая точка на заданом расстоянии

Зарегистрируйтесь или войдите

Регистрация через Google

Регистрация через Facebook

Регистрация через почту

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Нажимая на кнопку «Отправить ответ», вы соглашаетесь с нашими пользовательским соглашением, политикой конфиденциальности и политикой о куки

Координаты середины отрезка — как найти? Формулы и примеры

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

Отрезок — понятие, которое знакомо даже первокласснику. С начальной школы мы учились рисовать их, находить длину, складывать и вычитать друг из друга. Сегодня же мы пойдем еще дальше и рассмотрим отрезки на плоскости и даже в пространстве! Звучит впечатляюще, правда? После этой статьи вы сможете с легкостью решать сложные геометрические задачи на нахождение середины отрезка, разберетесь в непростых формулировках и еще больше убедитесь в том, что геометрия прекрасна в своей простоте.

Что такое отрезок

Чтобы изучить эту тему досконально, давайте начнем с самого простого: с определения отрезка.

Отрезок — это прямая, у которой есть начало и конец, или же прямая, которая соединяет две произвольные точки, не совпадающие друг с другом.

Отрезок называют заглавными буквами латинского алфавита по названию конечных точек. Причем можно расставлять буквы в любом порядке: АВ и ВА — равноценные варианты. Рассмотрите иллюстрацию, посчитайте и назовите все отрезки.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Что такое середина отрезка

Середина отрезка — это точка, которая находится на равном расстоянии от его концов. Иначе можно сказать так: это точка, которая делит отрезок пополам.

Так, на рисунке ниже D — середина отрезка СК, так как СD = DK. Обратите внимание, как на чертеже обозначаются равные по длине отрезки — мы ставим на них равное количество черточек.

Главный вопрос, который нас сегодня интересует, это координаты середины отрезка.

Координаты — это положение точки в пространстве.

Мы можем рассмотреть отрезок, который лежит на координатной прямой, тогда координата будет одна. В Декартовой системе координат оХУ будет две координаты, причем вначале записывают х, потом у. Например: С (5; 3): К (4; 8). Еще мы можем поместить отрезок в трехмерное пространство, тогда у каждой точки будет три координаты: х, у, z.

Кажется, что чем дальше, тем сложнее, но на самом деле это не совсем так. Хорошая новость: в каждом из случаев мы будем использовать один и тот же принцип, так что вы обязательно во всем разберетесь!

Как найти координаты середины отрезка на координатной прямой

Изобразим горизонтальную координатную прямую оХ и отметим на ней две точки: М и L. Координату точки М запишем как Хм, точки L — соответственно XL. Поставим лежащую на отрезке точку А — середину ML, MA = LA.

Определим координаты точек: Хм = {2}, XL = {8}. Чтобы найти середину отрезка, воспользуемся формулой X_A=(X_M+X_L)/2 и получим:

Х_А = (2 + 8)/2 = 5.

Проверим, верна ли формула. Для этого определим координаты середины отрезка графическим методом. Действительно: фактическая координата точки А совпадает со значением, которое мы получили.

Подумайте, взяли ли мы эту формулу случайно или же ее можно вывести. Да, конечно, второй вариант верный — в математике не используют ничего непроверенного. Давайте посмотрим, каким образом можно доказать истинность формулы, тем более, что мы возьмем ее за основу при решении более сложных задач.

1. Точка А — это середина отрезка, а значит, MA = LA.

2. Расстояние между точками можно рассчитать через разность модулей их координат: │Х_А – Х_М│=│Х_L – Х_А│.

3. Преобразуем правую часть, вынесем знак минуса: Х_А – Х_М= — (Х_А –Х_L).

4. Перенесем Х_А в левую часть, а все остальное — в правую: 2Х_А= Х_L+ Х_М.

5. Найдем Х_А: Х_А = (Х_L + Х_М)/2.

Вот мы и вывели формулу координат середины отрезков! Чтобы лучше закрепить материал, сделаем пару заданий.

Задача 1

Определите координаты середины отрезка АВ, если Х_А = –2, Х_B = 10.

Решение

Обозначим точку середины отрезка буквой Т. Тогда Хт = (Х_А + Х_B)/2 = (–2 + 10)/2 = 4.

Ответ: Хк = {4}.

Задача 2

Определите координаты начала отрезка КМ с серединой в точке Н, если Х_м = 5, Х_н = 10.

Решение

Вначале запишем формулу для середины отрезка: Х_н = (Х_к + Х_м)/2. Выразим Х_к через нее:

Х_н = (Х_к + Х_м)/2,2Х_н = (Х_к + Х_м),2Х_н – Х_м = Х_к,Х_к = 2Х_н – Х_м = 2 * 5 – 10 = 0.

Ответ: Хк = {0}

Как найти середину отрезка на плоскости

В Декартовой системе координат у каждой точки есть две координаты: по оси оХ и оУ. Изобразим отрезок АВ с координатами А (1; 3), В (3; 6) и точкой С — серединой отрезка.

Чтобы найти координаты точки С, мы воспользуемся уже известной нам формулой, но применим ее к каждой координате в отдельности. Вначале рассчитаем Х_с:

Х_с = (Х_А + Х_B)/2 = (1 + 3)/2 = 2.

Тогда У_C = (У_A + У_B)/2 = (3 + 6)/2 = 4,5. Значит С (2; 4,5).

Не пугайтесь, если отрезок на чертеже параллелен оси оХ или оУ: мы четко идем по нашему алгоритму и ничего не меняем.

Важно заметить: если отрезок параллелен оси оУ, координаты концов и середины отрезка по оХ будут совпадать, Х_А = Х_С = Х_В. Если же отрезок параллелен оси оХ, совпадут координаты по оУ: У_А = У_В = У_С.

И вновь пришло время задачек. Давайте разберем несколько примеров решения.

Задача 3

В системе координат находятся две точки: С (–6; 4) и К (2; 8). Определите координаты середины отрезка.

Решение

Обозначим середину отрезка точкой О. Тогда:

Х_О = (Х_С + Х_К)/2 = (–6 + 2)/2 = –2,У_О = (У_С + У_К)/2 = (4 + 8)/2 = 6.

Ответ: О (-2; 6).

Задача 4

Дан треугольник с вершинами АВС: А (-2; 4), В (4; 6), С (3; -5). Определите координаты точки М — медианы ВМ.

Решение

Медиана — отрезок, который проведен из вершины треугольника и делит противоположную сторону пополам. А значит, медиана ВМ делит на равные части сторону АС, АМ = МС. Тогда:

Х_М = (Х_А + Х_С)/2 = (–2 + 3)/2 = 0,5,У_М = (У_А + У_С)/2 = (4 – 5)/2 = –0,5.

Ответ: М (0,5; –0,5).

Координаты середины отрезка в пространстве

Вспомните, чем пространство отличается от плоскости. Правильно, третьим измерением! В том смысле, что добавляется еще одна координатная ось: оZ. Как это выглядит, можно посмотреть на рисунке ниже.

При этом формула нахождения середины отрезка остается неизменной. Если мы изобразим в трехмерном пространстве отрезок АВ с серединой в точке С, тогда:

Х_С = (Х_А + Х_В)/2,У_С = (У_А + У_В)/2,Z_С = (Z_А + Z_В)/2.

Координаты середины отрезка через радиус-векторы его концов

По сути, этот способ нельзя назвать каким-то новым и уникальным. Он лишь еще раз доказывает истинность формулы координат середины отрезков, только через алгебру. Чтобы разобраться в нем, давайте сначала вспомним определение вектора.

Вектор — это направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом.

Векторы — достаточно обширная тема. Чтобы разобраться в ней, не хватит и двух статей. Но сейчас мы с вами будем использовать всего несколько тезисов, которые помогут разобраться в теме.

1. Векторы можно изображать в системах координат оХУ и оХYZ, т. е. в двумерной и трехмерной.

2. Координаты начала и конца векторов записывают так же, как и для отрезков: (x; y) и (x; y; z).

3. Сумму векторов можно найти по методу треугольника или параллелограмма. Картинка ниже поможет вам вспомнить, как ими пользоваться.

Радиус-вектор — вектор, который задает положение точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки — начала координат.

Давайте разберемся, как доказать формулу для нахождения координаты середины отрезка через радиус-векторы его концов. В Декартовой системе координат нарисуем вектор с серединой в точке К. Координаты точки А (Х_А; У_А; Z_А), К (Х_К; У_К; Z_К), С (Х_С; У_С; Z_С).Проведем радиус-векторы , , .

Согласно определению середины отрезка: ОК = ½(ОС + ОА). Координаты векторов ОА, ОК, ОС соответственно равны координатам точек А, К, С, так как координаты точки О (0; 0; 0).

ОА (Х_А – 0, У_А – 0, Z_А – 0) = (Х_А; У_А; Z_А),ОК (Х_К – 0, У_К – 0, Z_К – 0) = (Х_К; У_К; Z_К,),ОС (Х_С– 0, У_С – 0, Z_С – 0) = (Х_С; У_С; Z_С).

Тогда запишем равенство ОК = ½(ОС + ОА) через координаты:

Х_К = 1/2(Х_А + Х_О),У_К = 1/2(У_А + У_О),Z_К = 1/2(Z_А + Z_О).

Напоследок мы сделаем небольшой перерыв, забудем про формулы и числа. Давайте подумаем, как можно найти середину отрезка, если мы не знаем координат его концов.

Например, нарисуем отрезок на песчаном пляже во время каникул. Определить точные координаты в таком случае будет достаточно сложно, правда? Вряд ли вы взяли с собой в отпуск набор линеек, чтобы вычислить длину отрезка. С подобным заданием вы могли столкнуться и на уроках геометрии, где учитель раздавал вам чистые нелинованные листы бумаги и просил найти середину отрезка без использования линейки.

Сейчас мы обучим вас волшебному методу, приготовьтесь! Все что вам понадобится — это циркуль. Нарисуем на бумаге отрезок АВ любой длины. Поставим иголку циркуля в точку А и начертим окружность с радиусом, равным АВ. Далее повторим действие — прочертим такую же окружность с центром в точке В.

Мы видим, что окружности пересеклись дважды: снизу и сверху. Если соединить эти две точки, эта прямая пересечет наш исходный отрезок ровно в его середине.

Скептики вспомнят наш пример с пляжем и скажут: «Линейку мы с собой в отпуск не берем, но и циркуль ведь тоже! Что вы скажете на это?» А ответим мы вот что: приходите на курсы по профильной математики в Skysmart! Там вы научитесь не только заменять настоящий циркуль на самодельный, но еще подготовитесь к экзаменам, разовьете логику и узнаете много всего интересного. Ждем вас на занятиях!

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Дарья Вишнякова

К предыдущей статье

220.6K

Логарифмы

К следующей статье

Перпендикулярные прямые

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Разбиение отрезка в заданном отношении

Предположим, у вас есть отрезок PQ¯ на координатной плоскости, и вам нужно найти точку на отрезке 13 пути от P до Q.

Сначала рассмотрим простой случай. где P находится в начале координат, а отрезок прямой является горизонтальным.

Длина прямой составляет 6 единиц, и точка на отрезке 13 пути от P до Q будет на расстоянии 2 единиц от P и 4 единиц от Q
и будет в (2,0).

Рассмотрим случай, когда сегмент не является горизонтальной или вертикальной линией.

Компоненты направленного отрезка PQ¯ равны 〈6,3〉  и нам нужно найти точку, скажем, X на отрезке 13 пути из P в Q.

Тогда компоненты отрезка PX ¯ суть 〈(13)(6),(13)(3)〉=〈2,1〉.

Поскольку начальная точка отрезка находится в начале координат, координаты точки X задаются как (0+2,0+1)=(2,1).

Теперь давайте решим более сложную задачу, где ни P, ни Q не находятся в начале координат.

Используйте конечные точки отрезка PQ¯ для записи компонентов направленного отрезка.

〈(x2−x1),(y2−y1)〉=〈(7−1),(2−6)〉                                            =〈6,−4〉

Теперь аналогичным образом компоненты отрезка PX ¯  где X — точка на отрезке 13 пути из P в Qare 〈(13)(6),(13)(−4)〉=〈2,−1,25〉.

Чтобы найти координаты точки X, прибавьте компоненты отрезка PX¯ к координатам начальной точки P.

Итак, координаты точки X равны (1+2,6−1,25)=(3,4,75).

Обратите внимание, что получившиеся сегменты PX¯ и XQ¯ имеют длины в соотношении 1:2.

В общем: что если вам нужно найти точку на отрезке, которая делит его на два отрезка с длинами в отношении a:b?

Рассмотрим направленный отрезок XY¯ с координатами концов как X(x1,y1) и Y(x2,y2).

Предположим, что точка Z разделила отрезок в отношении a:b, тогда эта точка представляет собой aa+b пути из X в Y.

Итак, обобщая имеющийся у нас метод, компоненты отрезка XZ¯ равны 〈(aa+b(x2−x1)),(aa+b(y2−y1))〉.

Тогда координата X точки Z равна

                       =bx1+ax2a+b.

Аналогично, координата Y равна

                      =by1+ay2a+b.

Следовательно, координаты точки Z равны (bx1+ax2a+b,by1+ay2a+b).

Пример 1:

Найдите координаты точки, которая делит направленный отрезок MN¯ с координатами концов в M(−4,0)  и M(0,4) в отношении 3:1?

Пусть L — точка, которая делит MN¯  в отношении 3:1.

Здесь (x1,y1)=(−4,0),(x2,y2)=(0,4) и a:b=3:1.

Подставить в формулу. Координаты L:

(1(−4)+3(0)3+1,1(0)+3(4)3+1).

Упрощение.

(−4+04,0+124)=(−1,3)

Следовательно, точка L(−1,3)  делит MN¯  в отношении 3:1.

Пример 2:

Каковы координаты точки, которая делит направленный отрезок AB¯ в отношении 2:3?

Пусть C — точка, которая делит AB¯  в отношении 2:3.

Здесь (x1,y1)=(−4,4),(x2,y2)=(6,−5) и a:b=2:3.

Подставить в формулу. Координаты C равны

(3(-4)+2(6)5,3(4)+2(-5)5).

Упрощение.

(−12+125,12−105)=(0,25)                                            =(0,0,4)

Следовательно, точка C(0,0,4)  делит AB¯  в отношении 2:3.

Вы можете заметить, что формула средней точки является частным случаем этой формулы, когда a=b=1.

геометрия — Найти точку на отрезке, расположенную на расстоянии $d$ от одной конечной точки

$\begingroup$

Учитывая точки $A$ и $C$ на плоскости, как мне найти точку $B$ на отрезке между $A$ и $C$, расположенную на расстоянии $d$ от $A$?

Пример:
$$A = (0,3), \qquad C = (3,0), \qquad d=1$$

• геометрия
• аналитическая геометрия

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Вы можете использовать параметризацию:

При $A=(a_1, a_2)$ и $B=(b_1,b_2)$ параметризация отрезка $AB$
от $A$ до $B$ составляет
$$
\выравнивание{
x(t) &= a_1 + (b_1-a_1)t\cr
у(т) &= а_2 +(б_2-а_2)т
}\ \ ;\ \ \ \ 0\le t\le1. 2}}.
$$ 92 }}.\cr
}
$$

$\endgroup$

$\begingroup$

Очень полезный факт. Точки в интервале от $(a,b)$ до $(c,d)$ — это в точности такие точки $(x,y)$, что
$$x=(1-t)a+ tc,\qquad y=(1-t)b+td,\tag{$\ast$}$$
где $t$ колеблется в интервале от $0$ до $1$. Более того, эта точка $(x,y)$ делит интервал от $(a,b)$ до $(c,d)$ в отношении $t:1-t$. Иными словами, расстояние от $(a,b)$ до $(x,y)$ равно $t$, умноженному на расстояние от $(a,b)$ до $(c,d)$.

Мы будем использовать $(\ast)$, где $(a,b)=(0,3)$ и $(c,d)=(3,0)$.
Расстояние от $(0,3)$ до $(3,0)$ равно $\sqrt{18}$, или, проще говоря, $3\sqrt{2}$. Если $B$ находится на расстоянии $d$ от $A$, мы хотим, чтобы $t:1 =d:3\sqrt{2}$.

Итак, $t=\dfrac{d}{3\sqrt{2}}$. Наконец, используйте это значение $t$ в $(\ast)$, чтобы найти координаты $(x,y)$ $B$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Направление из $\rm A$ в $\rm C$ параллельно смещению $\rm \vec{w}=\overline{AC}$.