В чем измеряется косинус: В чем измеряются синус и косинус? Угол в прямоугольном треугольнике измеряется в радиусах? Реально?! — Современные математики

Содержание

Тригонометрия





Тригонометрия






   Math Task









































   

   
 

   1.Тригонометрия.

   2.Тригонометрические функции.
     
     
 

1
2
3
4
5
6
7
8
9

 
     
   

   1.   Тригонометрия – раздел математики, изучающий зависимости между углами и сторонами в треугольниках и тригонометрические функции.

   Основная задача тригонометрии — вычисление неизвестных величин треугольника, если известны значения других его величин. В тригонометрии также решают задачу о вычислении углов треугольника, если известны его стороны, задачу о вычислении сторон треугольника и т.д.

  
 

   Для измерения углов между сторонами треугольника используется такая  единица измерения, как градус. Вся окружность с центром в точке О составляет 360°. Помимо градусной меры углов, также используется  радианная мера. 1 рад ≈ 57,295779513° ≈ 57°17′44,806″ ≈ 206265″.

   Радианная  и  градусная меры связаны зависимостью 180°=π   радиан.  Угол  в n°  равен    πn/ 180  радиан.

   Для того, чтобы рассчитать длину дуги угла α, используется следующая формула:

                        l= αr

   где  

     l  – длина дуги окружности

     α – угол в радианах

     r  – радиус окружности.

 

   Площадь S сектора круга радиуса r, дуга которого содержит α радиан, рассчитывается так:

                        S = αr² / 2

    где

      S – площадь сектора круга радиуса r

  

Площадь сектора круга.

  
 

2. Тригонометрические функции.

   Тригонометрические функции — математические функции от величины угла. Они используются при изучении геометрии, а также при исследовании переодических процессов в разных областях науки.  Тригонометрические функции определяют  отношения сторон прямоугольного треугольника  в единичной окружности.

   Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в точке O и с осями OX и OY . Возьмем в этой системе координат окружность с центром в точке O и радиусом, равным единице. Пусть отрезок OМ поворачивается на произвольный угол α вокруг центра O. Так как треугольник ОМВ прямоугольный, то тригонометрические функции угла α определяется из соотношений в прямоугольном треугольнике. Тогда:

  
     Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе или отношение координаты y точки М к длине отрезка OМ=R, где R — радиус окружности. Синус угла α обозначают sinα. Так как длина отрезка OМ=1, следовательно sinα = y.
   Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе или отношение координаты х точки М к длине отрезка OМ. Косинус угла α обозначают cosα. Так как ОМ=1, то cosα = х.
   Тангенсом угла α называется отношение противолежащего катета к прилежащему или координаты y точки М к x. Тангенс угла α обозначают tgα. Так как y = sin α и x = cos α, то tgα= sin α / cos α.
   Котангенсом угла α называется отношение прилежащего катета к противолежащему или отношение координаты х точки М к y. Котангенс угла α обозначают ctgα. Так как y = sin α и x = cos α, то ctgα= cosα / sinα. Из последних двух соотношений следует: ctg α= 1 / tg α		  

sin, cos, tg, ctg на тригонометрическом круге.

  
     
 

   y = sin x


   Область определения функции sin x  — множество всех действительных чисел. Областью значений функции синус является отрезок [-1;1].

  

График функции sin.

  
     
 

   y = cos x


   Область определения функции cos x  — множество всех действительных чисел. Областью значений функции синус является отрезок [-1;1].

  

График функции cos.

  
     
 

   y = tg x


   Область определения функции tg x  — (-π/2 + πn, π/2 + πn) nϵZ;

область значений (-∞; ∞)

 

График функции tg.

  
     
 

  y = ctg x


   Область определения функции ctg x  — (πn, π + πn) nϵZ;

область значений (-∞; ∞)

 

График функции сtg.

 
     
   
     
 

    Значения синуса и косинуса для некоторых углов.

  
   
   
     Значения тангенса и котангенса для углов 30, 45 и 60 находятся аналогично.  
 






         
   

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

  
 


 

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.



  2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.



  
 

 

 
 
 
 

Пример 1

  
   
  Пример 2      
   
 
   
     
 

1
2
3
4
5
6
7
8
9


 
     
     








     
 


 
     
     
  www. mathtask.ru  
     
     










Тангенс и котангенс. Формулы и определение

  • Главная
  • Справочник
  • Тригонометрия
  • Тангенс и котангенс. Формулы и определение

Помимо синуса и косинуса в тригонометрии имеется еще огромное количество функций, в частности, тангенс и котангенс, о котором мы поговорим на данном уроке.


Определение тангенса:


Тангенс tg(x) — это отношение синуса sin(x) к косинусу cos(x)


Формула тангенса:



\[ \LARGE tg\ x = \dfrac{\sin\ x}{\cos\ x} \]


Определение котангенса:


Котангенс ctg(x) — это отношение косинуса cos(x) к синусу sin(x).


Формула котангенса:



\[ \LARGE ctg\ x = \dfrac{\cos\ x}{\sin\ x} \]


Определения для прямоугольного треугольника:


Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к противолежащему.


Определения для числа:


Тангенсом числа t называют отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t, то есть, tg(t)=y/x.

Котангенсом числа t называют отношение абсциссы к ординате точки единичной окружности, соответствующей числу t, то есть, ctg(t)=x/y.


Так как делить на ноль нельзя, то значения в знаменателе не может быть равным нулю, т.е.


\( tg\ x = \dfrac{sin\ x}{cos\ x} \), где \( x \neq \dfrac{\pi}{2}+\pi k \)


\( ctg\ x = \dfrac{cos\ x}{sin\ x} \), где \( x \neq \pi k \)


Таблица знаков тангенса и котангенса по четвертям (составить ее можно, опираясь на таблицу синусов и косинусов, применяя правило деление чисел с отрицательными знаками):





  I II III IV
tg x + – + –
ctg x + – + –


Как видите, значения тангенса и котангенса очень просто найти, зная значения синуса и косинуса, тем не менее также существует таблица и для данных функций, которая существенно упрощает жизнь. Здесь я представлю самые распространенные значения. А для всех остальных значений существуют специальные таблицы Брадиса.





\( \frac{\pi}{6} \) \( \frac{\pi}{4} \) \( \frac{\pi}{3} \) \( \frac{\pi}{2} \) 0
tg x \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) 1 \( \sqrt{3} \) – 0
ctg x \( \sqrt{3} \) 1 \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) 0 –

Завершая разговор про данные тригонометрические функции нельзя не сказать про еще две важные формулы:

Для любого допустимого значения х справедливы равенства:


\[ tg\ (-x) = -tg\ x \]

\[ ctg\ (-x) = -ctg\ x \]

Для любого допустимого значения х также справедливы следующие равенства:

\[ tg\ (x+\pi)= tg\ \pi \]

\[ ctg\ (x+\pi)= ctg\ \pi \]

Ну вот теперь вроде все, более подробно и углубленно изучать мы будем все функции в процессе дальнейшего обучения.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Тригонометрия
Математика
Тригонометрия
Формулы
Теория
84991