Контур треугольника: Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры

Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры

Если дан криволинейный интеграл, а кривая, по которой происходит интегрирование —
замкнутая (называется контуром), то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и
обозначается следующим образом:

.

Область, ограниченную контуром L обозначим D. Если функции
P(x, y), Q(x, y)
и их частные производные и
— функции, непрерывные в
области D, то для вычисления криволинейного интеграла можно воспользоваться формулой Грина:

.

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла по замкнутому контуру сводится к
вычислению двойного интеграла по области D.

Формула Грина остаётся справедливой для всякой замкнутой области, которую можно проведением
дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей.

В примерах пригодится таблица интегралов.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл

,

если L — контур треугольника OAB,
где О(0; 0), A(1; 2) и B(1; 0).
Направление обхода контура — против часовой стрелки. Задачу решить двумя способами: а) вычислить
криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника и сложить результаты; б) по формуле Грина.

Решение.

а) Вычислим криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника. Сторона
OB находится на оси Ox,
поэтому её уравнением будет y = 0. Поэтому
dy = 0 и можем вычислить криволинейный
интеграл по стороне OB:

Уравнением стороны BA будет
x = 1. Поэтому
dx = 0. Вычисляем криволинейный
интеграл по стороне BA:

Уравнение стороны AO составим,
пользуясь формулой уравнения прямой, проходящей через две точки:

.

Таким образом,
dy = 2dx. Вычисляем криволинейный
интеграл по стороне AO:

Данный криволинейный интеграл будет равен сумме интегралов по краям треугольника:

.

б) Применим формулу Грина. Так как ,
, то
. У нас есть всё для того,
чтобы вычислить данный интеграл по замкнутому контуру по формуле Грина:

Как видим, получили один и тот же результат, но по формуле Грина вычисление
интеграла по замкнутому контуру происходит значительно быстрее.

Пример 2. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл

,

где L — контур OAB,
OB — дуга параболы y = x²,
от точки О(0; 0) до точки A(1; 1),
AB и BO —
отрезки прямых, B(0; 1).

Решение. Так как функции ,
, а их частные производные
, ,
D — область, ограниченная контуром L,
у нас есть всё, чтобы воспользоваться формулой Грина и вычислить данный интеграл по замкнутому контуру:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Кратные и криволинейные интегралы

Пример 3. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл

,
если L — контур, который образуют линия
y = 2 − |x| и ось
Oy.

Решение. Линия y = 2 − |x|
состоит из двух лучей: y = 2 − x, если
x ≥ 0 и
y = 2 + x, если x < 0.

Имеем функции ,
и их частные производные
и
. Подставляем всё в
формулу Грина и получаем результат:

Пример 4. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл

,

если L — окружность
.

Решение. Функции ,
и их частные производные
и
непрерывны в замкнутом
круге . Подставляем всё в
формулу Грина и вычисляем данный интеграл:

Назад

Листать

Вперёд>>>

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Кратные и криволинейные интегралы

Кратные и криволинейные интегралы

• Вычисление двойных интегралов
• Двойные интегралы в полярных координатах
• Вычисление тройных интегралов
• Вычисление криволинейных интегралов
• Интегралы по замкнутому контуру, формула Грина
• Вычисление поверхностных интегралов

Поделиться с друзьями

Контур треугольника, треугольник, угол, треугольник, симметрия png

Контур треугольника, треугольник, угол, треугольник, симметрия png

теги

• угол,
• треугольник,
• симметрия,
• черный,
• форма,
• треугольная призма,
• символ,
• svg,
• стоковая фотография,
• 2 D,
• призма,
• контур,
• линия Искусство,
• линия,
• круг,
• черно-белый,
• искусство,
• область,
• иконки,
• png,
• прозрачный,
• бесплатная загрузка

Об этом PNG

Размер изображения

428x600px

Размер файла

13. 17KB

MIME тип

Image/png

Скачать PNG ( 13.17KB )

изменить размер PNG

ширина(px)

высота(px)

Лицензия

Некоммерческое использование, DMCA Contact Us

• Треугольная форма фона, черный и белый абстракция, текстура, компьютерная сеть, угол png
  2480x3508px
  524.6KB

• Форма сердца, символ любви, любовь, текст, сердце png
  800x722px
  15.94KB

• Треугольник Черно-белый узор, синий треугольник технологии, черный рисунок, текстура, угол, белый png
  2409x2492px
  177.2KB

• org/ImageObject»>

  Северный компас роза, компас, угол, техника, симметрия png
  800x800px
  30.25KB

• ассорти-форма, полутоновый узор, абстрактный геометрический узор, угол, белый, текст png
  2436x2415px
  212.35KB

• Равносторонний треугольник Равнобедренный треугольник Треугольник Пенроуза Прямоугольный треугольник, цветные инструменты, угол, прямоугольник, фотография png
  512x512px
  13.1KB

• Белый круг Черная форма, круг, белый, симметрия, монохромный png
  1159x1159px
  53.11KB

• Diamond Gemstone, алмаз, угол, треугольник, симметрия png
  512x512px
  9.01KB

• Круг полутонов, точка, фотография, симметрия, монохромный png
  800x800px
  63. 33KB

• Переработка символ отходов, силуэт, угол, животные, переработка png
  981x942px
  53.14KB

• Капля воды, капли для печати, угол, белый, всплеск png
  426x599px
  21.96KB

• ассорти с, геометрическая форма, геометрия, геометрический рисунок, угол, белый, текст png
  3433x3239px
  333.84KB

• Черное искусство мандалы, Орнамент Мандала, контур мандалы, прямоугольник, фотография, логотип png
  1100x1100px
  303.4KB

• иллюстрация треугольника, равносторонний треугольник, равнобедренный треугольник, геометрия формы, треугольник, угол, прямоугольник, треугольник png
  600x600px
  10. 64KB

• Полутона, точки, Разное, чернила, другие png
  640x639px
  136.78KB

• Треугольная призма Треугольная форма, прямоугольная форма, угол, прямоугольник, симметрия png
  1024x1024px
  22.96KB

• Черный треугольник Форма пирамиды, треугольник, угол, треугольник, монохромный png
  2000x2000px
  95.06KB

• почта, значки компьютеров электронная почта, электронная почта, Разное, угол, прямоугольник png
  1000x1000px
  103.14KB

• фиолетовый и синий текстиль, узор в горошек полутонов, точки, симметрия, цвет, пурпурный png
  1280x960px
  45.62KB

• org/ImageObject»>

  иллюстрация черных точек, Prisma Engineering Ornament Черно-белый узор, точка, Разное, угол, белый png
  3600x3600px
  66.1KB

• рамка черного круга, черно-белый круг монохромный, тонкий, угол, белый, фотография png
  1600x1600px
  47.95KB

• Адрес электронной почты Компьютерные иконки, почта, разное, угол, треугольник png
  980x984px
  71.39KB

• Равносторонний треугольник Прямой треугольник, треугольная форма, угол, прямоугольник, треугольник png
  1000x1000px
  13.2KB

• иллюстрация черного алмаза, алмаз, черный алмаз, угол, текст, фотография png
  512x512px
  23.67KB

• org/ImageObject»>

  Пятиконечная звезда Символ Контур, красная звезда, угол, треугольник, симметрия png
  980x932px
  48.32KB

• Прямоугольник формы кубовидной формы, прямоугольная коробка 3d, угол, мебель, прямоугольник png
  1024x636px
  8.77KB

• Иллюстрация Поп-арт, Голубая точка Карнавальный плакат, Иллюстрация синий горошек, синий, белый, праздники png
  2678x2674px
  3.84MB

• Сота Шестиугольник, соты, угол, белый, прямоугольник png
  512x512px
  10.32KB

• черно-белая иллюстрация, рамка с рамками и рамками, черная рамка, угол, белый, лист png
  673x713px
  19KB

• Шаблонные рамки, арабески, Разное, угол, белый png
  5000x3750px
  276. 5KB

• Северная Стрелка Символ Рисунок, Стрелка, угол, треугольник, симметрия png
  800x800px
  2.45MB

• Шестигранник Правильная форма многоугольника, шестиугольник, угол, прямоугольник, монохромный png
  2000x1730px
  45.31KB

• четыре черные стрелки, стрела, эскиз стрелы, угол, белый, лицо png
  800x615px
  9.56KB

• Черно-белая геометрия Геометрическая абстракция Pattern, Technology Triangle Cover, черно-серый шестиугольный скриншот, текстура, угол, белый png
  2430x2447px
  258.18KB

• Силуэт Сердце, Силуэт, любовь, животные, фотография png
  980x870px
  44. 57KB

• Сердце Контурный рисунок День Святого Валентина, линия сердца, любовь, белый, лист png
  600x557px
  21.46KB

• бумажный самолетик иллюстрация, самолет бумажный самолетик, бумажный самолет, угол, фотография, треугольник png
  1300x1084px
  100.96KB

• контур шестиугольника, шестигранные компьютерные иконки, шестиугольник, разное, cdr, угол png
  850x980px
  10.12KB

• Треугольная призма Геометрия Геометрическая форма Рисунок, круг и кубо, угол, мебель, прямоугольник png
  424x600px
  10.83KB

• Форма Треугольник Белый, форма, угол, белый, прямоугольник png
  768x665px
  22. 81KB

• значок воспроизведения, информация о проигрывателе видео, значок воспроизведения, разное, угол, текст png
  512x512px
  16.03KB

• Прямоугольный многоугольник, треугольник, угол, прямоугольник, треугольник png
  512x512px
  2.69KB

• Символ сердца, символ любви, любовь, текст, сердце png
  1024x1024px
  15.36KB

• треугольная черная иллюстрация, треугольник геометрическая линия геометрическая форма, треугольник, угол, прямоугольник, треугольник png
  1280x1280px
  611.17KB

• Черный треугольник Форма, треугольник, угол, треугольник, черный png
  512x512px
  2. 63KB

• Пустая карта Индонезии, карта, рука, монохромный, компьютерные обои png
  1000x365px
  50.09KB

• Форма щита, щит, угол, прямоугольник, треугольник png
  980x980px
  11.4KB

• черный паутина, паутина рисунок, паутина мультфильм, лист, филиал, монохромный png
  512x512px
  16.98KB

• Трапециевидный график функции Shape Line Математика, форма, угол, белый, текст png
  1024x512px
  4.6KB

• Геометрия треугольника, геометрические фигуры, угол, чернила, треугольник png
  700x700px
  36.63KB

Triangle Outline — Etsy.de

Etsy больше не поддерживает старые версии вашего веб-браузера, чтобы обеспечить безопасность пользовательских данных. Пожалуйста, обновите до последней версии.

Воспользуйтесь всеми преимуществами нашего сайта, включив JavaScript.

Найдите что-нибудь памятное,
присоединяйтесь к сообществу, делающему добро.

(372 релевантных результата)

Свернуть или развернуть части документа

Word для Microsoft 365 Word для Интернета Word 2021 Word 2019Word 2016 Word 2013 Больше. ..Меньше

Когда вы работаете над длинным и сложным документом, вы можете свернуть все, кроме той части, на которой хотите сосредоточиться. Или, если вы считаете, что можете перегрузить своих читателей слишком большим количеством информации, вы можете отобразить сводку и предоставить читателям возможность открыть сводку и прочитать подробности, если они захотят.

Возможность сворачивать и разворачивать содержимое документа зависит от уровня его структуры. Вы можете быстро добавить уровень структуры и сделать часть документа сворачиваемой, добавив заголовок с помощью встроенных стилей Word.

После применения стиля заголовка вы увидите маленький треугольник при наведении курсора на заголовок. Щелкните треугольник, чтобы свернуть основной текст и подзаголовки под ним.

Совет:  Если вы работаете на сенсорном устройстве, коснитесь, чтобы поместить курсор в заголовок, чтобы увидеть треугольник.

Щелкните треугольник еще раз, чтобы развернуть эту часть документа.

Чтобы свернуть или развернуть все заголовки в документе, щелкните заголовок правой кнопкой мыши и выберите Развернуть/свернуть > Развернуть все заголовки или Свернуть все заголовки .

При закрытии и повторном открытии документа заголовки по умолчанию расширяются. Если вы хотите, чтобы документ открывался со свернутыми заголовками, выполните следующие действия.

1. Поместите курсор в заголовок.

2. На вкладке Дом щелкните стрелку в группе Параграф .